Question
Download Solution PDFP(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1) और R(1, -1, 1) बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के लंबवत सदिश ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए दो समतलों को ज्ञात करते हैं, पहले समतल में सदिश ज्ञात कीजिए और फिर उनका अनुप्रस्थ गुणनफल लीजिए।
हल:
दिया गया है, समतल बिंदुओं P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1) और R(1, -1, 1) से होकर गुजरता है।
चरण (1) समतल में दो सदिश ज्ञात कीजिए।
हम इसे (1, 4, 6) (-2, 5, -1) और (1, 4, 6) (1, -1, 1) से सदिश ज्ञात करके करेंगे।
चूंकि सभी तीन बिंदु समतल में हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक सदिश भी होगा।
\(\overrightarrow{u_1}=(1,4,6)-(-2,5,-1)=(3,-1,7)\)
\(\overrightarrow{u_2}=(1,4,6)-(1,-1,1)=(0,5,5)\)
चरण (2) समतल के लंबवत सदिश ज्ञात कीजिए।
यदि एक सदिश एक समतल में दो सदिशों के लंबवत है, तो यह स्वयं समतल के लंबवत होना चाहिए। चूंकि दो सदिशों का अनुप्रस्थ-गुणनफल दोनों के लिए लंबवत सदिश उत्पन्न करता है, इसलिए हम सदिश के अनुप्रस्थ गुणनफल \(\overrightarrow{u_1}\ और \ \overrightarrow{u_2}\) का प्रयोग करके उन्हें समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश \(\overrightarrow{u}\) को ज्ञात करेंगे।
\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{u_2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix} i &j & k \\ 3& -1 & 7 \\ 0&5 & 5\\ \end{vmatrix}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=i(-5-35)-j(15-0)+k(15-0)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u}=-40i-15j+15k\)
इसलिए, बिंदु P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1), और R(1, -1, 1) से गुजरने वाले समतल के लिए लंबवत सदिश (-40, -15, 15) है।
Last updated on Jun 19, 2025
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