ΔABC में, बिंदु P, Q और R को क्रमशः भुजाओं AB, BC और CA पर इस प्रकार लिया जाता है कि BQ = PQ और QC = QR है। यदि ∠BAC = 75º है, तो ∠PQR (डिग्री में) का माप क्या है?

Shortcut Trick 

∠BAC = 75º

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

∠ABC + ∠ACB + 75° = 180°

∠ABC + ∠ACB = 180° - 75° = 105°

माना, ∠ABC = ∠PBQ = 70° और ∠ACB = ∠RCQ = 35°

इसलिए, ∠PQR = 180° - (∠PQB + ∠RQC)

= 180° - [(180° - 2∠PBQ) + (180° - 2∠RCQ)  [∵ BQ = PQ; QC = QR]

= 180° - [(180° - 2 × 70°) + (180° - 2 × 35°)]

= 180° - (40° + 110°)

= 180° - 150°

= 30°

Alternate Method

दिया गया है:

ΔABC में , ∠BAC = 75º

BQ = PQ तथा QC = QR

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°

एक सरल रेखा पर सभी कोणों का योग = 180°

गणना:

माना, ∠ABC = x और ∠ACB = y

इसलिए, ∠ABC = ∠PBQ = ∠QPB = x  [∵ BQ = PQ]

∠ACB = ∠RCQ = ∠QRC = y  [QC = QR]

ΔABC में, ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

⇒ x + y + 75° = 180°

⇒ x + y = 180° - 75° = 105°   .....(1)

ΔBPQ तथा ΔCRQ में,

(∠PBQ + ∠QPB + ∠PQB) + (∠RCQ + ∠QRC + ∠RQC) = 180° + 180° = 360°

⇒ (x + x + ∠PQB) + (y + y + ∠RQC) = 360°

⇒ 2x + 2y + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ 2 (x + y) + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ (2 × 105°) + ∠PQB + ∠RQC = 360°  [∵ x + y = 105°]

⇒ ∠PQB + ∠RQC = 360° - 210° = 150°   .....(2)

साथ ही, ∠PQB + ∠RQC + ∠PQR = 180°

⇒ 150° + ∠PQR = 180°  [∵ ∠PQB + ∠RQC = 150°]

⇒ ∠PQR = 180° - 150° = 30°

∴ ∠PQR की माप (डिग्री में) 30° है।