(t² - 2t) u (t - 1) का लाप्लास रूपांतरण क्या है?

सिद्धांत:

एक यूनिट स्टेप फलन का लाप्लास रूपांतरण दिया गया है:

u(t) ↔ 1/s

आवृत्ति डोमेन में समय स्थानांतरण का प्रभाव इस प्रकार दर्शाया गया है:

\(u\left( {t - t_0} \right) \leftrightarrow \;\frac{{{e^{ - st_0}}}}{s}\)

इसके अलावा, आवृत्ति विभेदन गुण से, हमारे पास है:

\(t\;u\left( t \right) \leftrightarrow \;\frac{{ - d}}{{ds}}\left( {\frac{1}{s}} \right) \)

अनुप्रयोग:

f(t) = (t2 - 2t) u(t - 1)

= (t2 - 2t + 1 - 1) u(t - 1)

= ((t - 1)2 - 1) u(t - 1)

= (t - 1)2 u(t - 1) - u(t - 1)

u(t) ↔ 1/s

\(u\left( {t - 1} \right) \leftrightarrow \;\frac{{{e^{ - s}}}}{s}\)

u(t) ↔ 1/s

\(t\;u\left( t \right) \leftrightarrow \;\frac{{ - d}}{{ds}}\left( {\frac{1}{s}} \right) = \frac{1}{{{s^2}}}\;\)

\({t^2}\;u\left( t \right) \leftrightarrow \frac{{ - d}}{{ds}}\left( {\frac{1}{{{s^2}}}} \right) = \frac{2}{{{s^3}}}\;\)

\({\left( {t - 1} \right)^2}u\left( {t - 1} \right)\;\leftrightarrow {e^{ - s}}\frac{2}{{{s^3}}}\)

\(F\left( s \right) = \frac{{2{e^{ - s}}}}{{{s^3}}} - \frac{{{e^{ - s}}}}{s}\)