Signals and Systems MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Signals and Systems - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 30, 2025
Latest Signals and Systems MCQ Objective Questions
Signals and Systems Question 1:
एक वास्तविक और सम फलन का फूरियर रूपांतरण परिणामस्वरूप क्या होता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 1 Detailed Solution
अवधारणा: फूरियर रूपांतरण सममिती गुण
यदि एक समय-डोमेन फलन है:
-
वास्तविक: इसका कोई काल्पनिक भाग नहीं है
-
सम:
तब इसका फूरियर रूपांतरण होगा:
-
पूर्णतः वास्तविक
-
सम: F(ω)=F(−ω)
🔍 उदाहरण: कोसाइन तरंग
मान लीजिये: f(t) = cos(ω0t)
-
यह वास्तविक है।
-
यह सम है, क्योंकि
फूरियर रूपांतरण का है: F(ω)=π [δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)]
यह परिणाम है:
-
पूर्णतः वास्तविक (डेल्टा फलनों को शामिल करता है, कोई काल्पनिक घटक नहीं)
-
सम क्योंकि यह के आसपास सममित है
Signals and Systems Question 2:
सिंक स्पंद संरूपण किस फलन के फूरियर ट्रांसफॉर्म से प्राप्त होती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 2 Detailed Solution
संकल्पना:
सिंक स्पंद संरूपण का उपयोग आमतौर पर डिजिटल संचार प्रणालियों में आदर्श नाइक्विस्ट स्पंद संरूपण प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जिससे अंतरप्रतीक अंतरापृष्ठ (ISI) कम से कम होता है।
सिंक फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: \( \text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \)
व्याख्या:
सिंक फलन आवृत्ति क्षेत्र में एक आयताकार फलन के व्युत्क्रम फूरियर ट्रांसफॉर्म के रूप में उत्पन्न होता है।
दूसरे शब्दों में, यदि आवृत्ति स्पेक्ट्रम एक पूर्ण आयताकार आकार (आदर्श निम्न-पारद फिल्टर) है, तो इसका समय-क्षेत्र निरूपण एक सिंक फलन है।
निष्कर्ष:
सही उत्तर: विकल्प 4) आयताकार
Signals and Systems Question 3:
यदि 15 kHz तक आवृत्ति घटक वाला सिग्नल 20 kHz का उपयोग करके प्रतिचयन किया जाता है, तो किस प्रकार की विकृति होती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
संकेत प्रसंस्करण में अतिआवरण (Aliasing) को समझना
परिभाषा: अतिआवरण एक ऐसी घटना है जो तब होती है जब किसी सिग्नल को उस दर पर प्रतिचयन किया जाता है जो सिग्नल में परिवर्तनों को सटीक रूप से कैप्चर करने के लिए अपर्याप्त होती है। विशेष रूप से, अतिआवरण तब होता है जब प्रतिचयन दर न्यक्विस्ट दर से कम होती है, जो सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति का दोगुना होती है। जब अतिआवरण होता है, तो प्रतिचयन के बाद विभिन्न सिग्नल एक-दूसरे से अप्रभेद्य हो जाते हैं, जिससे विकृति होती है।
विस्तृत व्याख्या: दी गई समस्या के संदर्भ में, एक सिग्नल में 15 kHz तक आवृत्ति घटक होते हैं, और इसे 20 kHz प्रतिचयन दर का उपयोग करके प्रतिचयन किया जाता है। न्यक्विस्ट प्रमेय के अनुसार, अतिआवरण से बचने के लिए प्रतिचयन दर सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति का कम से कम दोगुना होना चाहिए। इसलिए, 15 kHz की अधिकतम आवृत्ति वाले सिग्नल के लिए न्यक्विस्ट दर 30 kHz है। चूँकि दी गई 20 kHz की प्रतिचयन दर इस न्यक्विस्ट दर से कम है, इसलिए अतिआवरण होगा।
जब अतिआवरण होता है, तो सिग्नल के उच्च आवृत्ति घटक निचली आवृत्तियों में "मोड़" दिए जाते हैं, जिससे विकृति होती है जो मूल सिग्नल को उसके अतिआवरण समकक्ष से अप्रभेद्य बना देती है। इस प्रभाव के परिणामस्वरूप सूचना का नुकसान होता है और पुनर्निर्मित सिग्नल की गुणवत्ता में काफी गिरावट आ सकती है।
उदाहरण: 15 kHz की आवृत्ति वाली एक साधारण साइन वेव पर विचार करें। यदि हम इस तरंग को 20 kHz पर प्रतिचयन करते हैं, तो प्रतिचयन बिंदु तरंग के वास्तविक रूप को सटीक रूप से कैप्चर नहीं करेंगे। इसके बजाय, नमूने एक अलग, कम आवृत्ति सिग्नल का प्रतिनिधित्व करेंगे, जिससे विकृत प्रतिनिधित्व होगा। इस गलत व्याख्या को प्रतिचयन किए गए बिंदुओं को आलेखित करके और यह देखकर देखा जा सकता है कि पुनर्निर्मित सिग्नल मूल 15 kHz ज्या तरंग से मेल नहीं खाता है।
उचित प्रतिचयन का महत्व: अतिआवरण से बचने के लिए, सिग्नल को उस दर पर प्रतिचयन करना महत्वपूर्ण है जो सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति का कम से कम दोगुना हो। यह आवश्यकता सुनिश्चित करती है कि मूल सिग्नल को प्रतिचयन किए गए डेटा से सटीक रूप से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, इंजीनियर अक्सर प्रतिचयन से पहले उच्च आवृत्ति घटकों को हटाने के लिए प्रति-अलायसिंग फ़िल्टर का उपयोग करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रतिचयन किया गया सिग्नल न्यक्विस्ट मानदंड का पालन करता है।
निष्कर्ष: दी गई समस्या में, सही उत्तर विकल्प 2 (अतिआवरण) है क्योंकि 15 kHz तक आवृत्ति घटक वाला सिग्नल 20 kHz की दर से प्रतिचयन किया जाता है, जो 30 kHz की न्यक्विस्ट दर से कम है, जिससे अतिआवरण होता है और परिणामस्वरूप विकृति होती है।
महत्वपूर्ण जानकारी:
यह समझने के लिए कि अन्य विकल्प गलत क्यों हैं, आइए उनका विश्लेषण करें:
परिमाणीकरण त्रुटि एक सतत सिग्नल को एक असतत डिजिटल सिग्नल में परिवर्तित करने की प्रक्रिया के दौरान होती है, जो स्तरों के एक सीमित सेट के भीतर सिग्नल के आयाम को निकटतम मान तक अनुमानित करती है। इस प्रकार की त्रुटि डिजिटल प्रतिनिधित्व की परिशुद्धता से संबंधित है और विशेष रूप से प्रतिचयन दर से संबंधित नहीं है। दी गई समस्या में, प्राथमिक समस्या प्रतिचयन दर बहुत कम होना है, जिससे परिमाणीकरण त्रुटि के बजाय अतिआवरण होता है।
ढलान अधिभार एक ऐसी घटना है जो डेल्टा मॉड्यूलन में तब होती है जब निवेश सिग्नल के परिवर्तन की दर मॉड्यूलेटर की इसे ट्रैक करने की क्षमता से अधिक हो जाती है। इसके परिणामस्वरूप सिग्नल में सीधी ढालों का पालन करने में असमर्थता के कारण विकृति होती है। ढाल अधिभार प्रतिचयन दर से संबंधित नहीं है, बल्कि मॉड्यूलन तकनीक और इसके मापदंडों से संबंधित है। इसलिए, यह दी गई समस्या पर लागू नहीं होता है।
विकल्प 4 बताता है कि कोई विकृति नहीं होती है, जो गलत है। यह देखते हुए कि 20 kHz की प्रतिचयन दर 15 kHz तक आवृत्ति घटक वाले सिग्नल के लिए न्यक्विस्ट दर से कम है, अतिआवरण होगा, जिससे विकृति होगी। इस प्रकार, यह विकल्प समस्या में वर्णित परिदृश्य पर लागू नहीं होता है।
- विकल्प 1: परिमाणीकरण त्रुटि
- विकल्प 3: ढाल अधिभार
- विकल्प 4: कोई विकृति नहीं
Signals and Systems Question 4:
प्रणाली का ROC ___________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 4 Detailed Solution
Z रूपांतरण:
एक असतत संकेत x[n] के लिए z रूपांतरण निम्न द्वारा दिया जाता है:
X[z] =
Z के सभी मानों का समुच्चय जहाँ X(z) एक परिमित मान में परिवर्तित होता है, अभिसरण त्रिज्या (ROC) कहलाती है।
ROC में कोई ध्रुव नहीं है।
यदि x[n] एक सीमित अवधि का करणीय अनुक्रम या दाएं तरफा अनुक्रम है, तो ROC, z = 0 को छोड़कर संपूर्ण z- समतल है।
यदि x[n] एक सीमित अवधि के गैर करणीय-अनुक्रम या बाएं-तरफा अनुक्रम है, तो ROC, z =∞ को छोड़कर संपूर्ण z- समतल है।
Signals and Systems Question 5:
किसी भी समय-परिवर्ती फलन f(t) के अंतिम मान को ज्ञात करने का सूत्र क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
लाप्लास रूपांतरण में अंतिम मान प्रमेय
परिभाषा: अंतिम मान प्रमेय (FVT) नियंत्रण सिद्धांत और सिग्नल प्रसंस्करण में एक मौलिक अवधारणा है, जो समय के साथ अनंत तक पहुँचने पर समय-परिवर्ती फलन के स्थिर-स्थिति मान को निर्धारित करने की एक विधि प्रदान करती है। यह अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के दीर्घकालिक व्यवहार का विश्लेषण करने में विशेष रूप से उपयोगी है।
सूत्र: अंतिम मान प्रमेय बताता है कि दिए गए फलन \(f(t)\) के लिए, यदि \(f(t)\) का लाप्लास रूपांतरण \(F(s)\) मौजूद है, तो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर \(f(t)\) का अंतिम मान सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
\(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sF(s)\)
यह प्रमेय इस शर्त के तहत लागू होता है कि \(sF(s)\) के सभी ध्रुव (संभवतः \(s = 0\) को छोड़कर) सम्मिश्र समतल के बाएँ आधे भाग में हैं। यह सुनिश्चित करता है कि फलन \(f(t)\) एक स्थिर-स्थिति मान तक पहुँचता है क्योंकि \(t\) अनंत तक पहुँचता है।
कार्य सिद्धांत: अंतिम मान प्रमेय इसके लाप्लास रूपांतरण का विश्लेषण करके फलन के स्थिर-स्थिति मान को खोजने का एक सीधा तरीका प्रदान करता है। प्रमेय अनिवार्य रूप से समय डोमेन में फलन के व्यवहार को आवृत्ति डोमेन में इसके व्यवहार से संबंधित करता है, जिससे अंतिम मान की आसान गणना की अनुमति मिलती है।
उदाहरण: लाप्लास रूपांतरण \(F(s) = \frac{5}{s(s+2)}\) वाले फलन \(f(t)\) पर विचार करें। \(f(t)\) का अंतिम मान ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम मान प्रमेय का उपयोग करते हैं:
\(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} s \left(\frac{5}{s(s+2)}\right) = \lim_{s \rightarrow 0} \frac{5}{s+2} = \frac{5}{2} = 2.5\)
इसलिए, \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर \(f(t)\) का अंतिम मान 2.5 है।
लाभ:
- व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण करने की आवश्यकता के बिना स्थिर-स्थिति मान को खोजने में सादगी।
- अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के दीर्घकालिक व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी।
- फलन के समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन निरूपण के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करता है।
नुकसान:
- केवल तभी लागू होता है जब फलन \(f(t)\) \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर एक स्थिर-स्थिति मान तक पहुँचता है।
- फलन \(f(t)\) के लाप्लास रूपांतरण \(F(s)\) के अस्तित्व की आवश्यकता है।
- यदि फलन के ध्रुव सम्मिश्र समतल के दाहिने आधे भाग में या काल्पनिक अक्ष पर (\(s = 0\) को छोड़कर) हैं तो लागू नहीं होता है।
सही विकल्प विश्लेषण:
सही विकल्प है:
विकल्प 3: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0}sF(s)\)
यह विकल्प अंतिम मान प्रमेय का सही प्रतिनिधित्व करता है। सूत्र \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0}sF(s)\) समय-परिवर्ती फलन \(f(t)\) के अंतिम मान को इसके लाप्लास रूपांतरण \(F(s)\) का विश्लेषण करके ज्ञात करने की एक विधि प्रदान करता है।
अतिरिक्त जानकारी
विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:
विकल्प 1: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)\)
यह विकल्प गलत है क्योंकि यह \(s\) के अनंत तक पहुँचने के रूप में सीमा लेने का सुझाव देता है, जो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर फलन \(f(t)\) का अंतिम मान प्रदान नहीं करता है। सही सीमा \(s\) के शून्य तक पहुँचने के रूप में होनी चाहिए।
विकल्प 2: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow 0} tf(t)\)
यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें समय डोमेन सीमा शामिल है क्योंकि \(t\) शून्य तक पहुँचता है, जो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर अंतिम मान खोजने से संबंधित नहीं है। अंतिम मान प्रमेय विशेष रूप से \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर सीमा से संबंधित है।
विकल्प 4: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow 0} f(t)\)
यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें फिर से समय डोमेन सीमा शामिल है क्योंकि \(t\) शून्य तक पहुँचता है, जो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर अंतिम मान खोजने में मदद नहीं करता है। सही दृष्टिकोण में लाप्लास रूपांतरण और \(s\) के शून्य तक पहुँचने पर सीमा शामिल है।
निष्कर्ष:
समय-परिवर्ती कार्यों के स्थिर-स्थिति व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए अंतिम मान प्रमेय को समझना आवश्यक है। प्रमेय का सही अनुप्रयोग इसके लाप्लास रूपांतरण का मूल्यांकन करके एक फलन के अंतिम मान के निर्धारण की अनुमति देता है। यह विधि प्रक्रिया को सरल करती है और फलन के समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन निरूपण के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करती है।
Top Signals and Systems MCQ Objective Questions
\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {e^{ - t}}\delta \left( {2t - 2} \right)dt\) का मान, जहां \(\delta \left( t \right)\) डिराक डेल्टा फलन क्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा :
आवेग फलन का स्थानांतरण गुण
\(\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta (t -a ) dt = x(a)\)
आवेग फलन का स्केलिंग गुण
\(\delta (at) = \frac{1}{|a|)} \delta (t)\)
स्पष्टीकरण :
माना:
\(\rm I =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta(2t - 2) dt\)
\( I = \rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta[2(t - 1)] dt\)
उपरोक्त समीकरण में आवेग फलन के स्केलिंग गुण का उपयोग करके, हम प्राप्त करेंगे:
\( I =\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \frac{1}{|2|}\delta(t - 1) dt\)
आवेग फलन के स्थानांतरण गुण को उपरोक्त समीकरण में लागू करने पर, हम प्राप्त करेंगे:
\( I =\frac{1}{2}\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta(t - 1) dt\)
\(I = \frac{1}{2}. \left. e^{-t} \right|_{t = 1}\)
\(\frac{1}{{2e}}\)
जब एक निरंतर समय सिग्नल x(t) = 5 cos 400πt द्वारा दिया गया है, तो उपघटन का परिवर्जन करने के लिए न्यूनतम प्रतिचयन दर की गणना कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
उपघटन का परिवर्जन करने के लिए न्यूनतम प्रतिचयन दर:
fs = 2fm= (नाइक्विस्ट दर)
गणना:
दिया गया है कि, ωm = 400 π
fm = 200 Hz = सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति
प्रतिचयन आवृत्ति fs = 2 × 200 = 400 Hz
e-at sin ωt u(t) का लाप्लास रूपांतर ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
द्विपक्षीय लाप्लास रूपांतर:
\(L\left[ {x\left( t \right)} \right] = x\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - st}}dt\)
एकपक्षीय लाप्लास रूपांतर:
\(L\left[ {x\left( t \right)} \right] = x\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty x\left( t \right){e^{ - st}}dt\)
कुछ महत्वपूर्ण लाप्लास रूपांतर:
|
|
f(t) |
f(s) |
ROC |
|
1. |
δ(t) |
1 |
संपूर्ण s-तल |
|
2. |
e-at u(t) |
\(\frac{1}{{s + a}}\) |
s > - a |
|
3. |
e-at u(-t) |
\(\frac{1}{{s + a}}\) |
s < - a |
|
4. |
cos ω0 t u(t) |
\(\frac{s}{{{s^2} + \omega _0^2}}\) |
s > 0 |
|
5. |
te-at u(t) |
\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\) |
s > - a |
|
6. |
sin ω0t u(t) |
\(\frac{{{\omega _0}}}{{{s^2} + \omega _0^2}}\) |
s > 0 |
|
7. |
u(t) |
11/s |
s > 0 |
गणना:
\(\sin \omega t. u(t)\leftrightarrow \frac{\omega }{{{s^2} + {\omega ^2}}}\)
आवृत्ति अवकल गुण लागू करके,
\({e^{ - at}}\sin \omega t. u(t) \leftrightarrow \frac{\omega }{{{{\left( {s + a} \right)}^2} + {\omega ^2}}}\)
एनालॉग नमूने को असतत रूप में बदलने की प्रक्रिया को ______ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFमॉडुलन:
- वह प्रक्रिया जिसमें बैंडपास संकेत (सिग्नल) का निर्माण करने लिए बेसबैंड संदेश संकेत (सिग्नल) के अनुसार वाहक सिग्नल में भिन्न विशेषताएं होती हैं।
विबहुसंकेतन :
- एक चैनल पर कई एनालॉग या डिजिटल रूप में इनपुट किये गए संकेत (सिग्नल) या डेटा स्ट्रीम संचरित करने की प्रक्रिया या तकनीक को बहुसंकेतन कहा जाता है।
- बहुसंकेतन प्रक्रिया के उत्क्रम विबहुसंकेतन एक ऐसी प्रक्रिया है जो एक संकेत (सिग्नल) को कई एनालॉग या डिजिटल सिग्नल स्ट्रीम से मूल सिग्नल में वापस लाती है।
प्रतिचयन :
- निरंतर समय संकेतों को असतत समय संकेत में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है।
परिमाणीकरण:
- यह असतत समय संकेत में निरंतर समय संकेतों के परिमाणीकरण की प्रक्रिया है।
- अतः सही उत्तर विकल्प "3" है।
एक सिग्नल x(t) का लाप्लास रूपांतरण \(\frac{{4s + 1}}{{{s^2} + 6s + 3}}\) है। तो x(0) का प्रारंभिक मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अंतिम मान प्रमेय:
एक अंतिम मान वाला प्रमेय समय डोमेन व्यवहार को आवृत्ति डोमेन समीकरण की सीमा को लेकर प्रत्यक्ष रूप से गणना करने की अनुमति प्रदान करता है।
अंतिम मान वाला प्रमेय बताता है कि किसी प्रणाली के अंतिम मान की गणना निम्न द्वारा की जा सकती है
\(x\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sX\left( s \right)\)
जहाँ X(s) फलन का लाप्लास रूपांतरण है।
अंतिम मान वाले प्रमेय को लागू करने के लिए प्रणाली को स्थिर-अवस्था में संतुलित होना चाहिए और इसके लिए ध्रुवों के वास्तविक भाग को s तल के बाएँ पक्ष में होना चाहिए।
प्रारंभिक मान प्रमेय:
\(x\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} x\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } sX\left( s \right)\)
यह केवल तब लागू होता है जब X(s) के ध्रुवों की संख्या X(s) के शून्यों की संख्या से अधिक होती है।
गणना:
दिया गया है कि, \(X\left( s \right) = \frac{{4s + 1}}{{{s^2} + 6s + 3}}\)
प्रारंभिक मान,
\(x\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } s\frac{{4s + 1}}{{{s^2} + 6s + 3}}\\=\mathop {\lim }\limits_{\frac{1}{s} \to 0 } \frac{{4 + \frac{1}{s}}}{{{1} + \frac{6}{s} + \frac{3}{s^2}}} = 4\)
एक आवधिक सिग्नल v(t) = 30 sin100t + 10 cos300t + 6 sin(500t + π/4), के लिए rad/s में मौलिक आवृत्ति क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया, सिग्नल
V (t) = 30 sin 100t + 10 cos 300 t + 6 sin (500t+π/4)
तो हमारे पास है
ω1 = 100 rads
ω2 = 300 rads
ω3 = 500 rads
∴ संबंधित समय अवधियाँ हैं
\(\begin{array}{l} {T_1} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _1}}} = \frac{{2\pi }}{{100}}sec\\ {T_1} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _2}}} = \frac{{2\pi }}{{300}}sec\\ {T_3} = \frac{{2\pi }}{{500}}sec \end{array}\)
तो, सिग्नल की मूलभूत समय अवधि है
\(LCM\left( {{T_1},{T_2},{T_3}} \right) = \frac{{LCM\left( {2\pi ,2\pi ,2\pi } \right)}}{{HCF\left( {100,\ 300,\ 500} \right)}}\)
चूँकि \({T_0} = \frac{{2\pi }}{{100}}\)
∴ मूलभूत समय अवधि \({\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}} = 100\ rad/s\)
एक सिग्नल का z - रूपांतर\(X\left( z \right) = \frac{1}{4}\;\frac{{{z^{ - 1}}\left( {1 - {z^{ - 4}}} \right)}}{{{{\left( {1 - {z^{ - 1}}} \right)}^2}}}\) है, तो इसका अंतिम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
अंतिम मान प्रमेय:
यह बताता है कि:
\(x\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {1 - {z^1}} \right)X\left( z \right)\)
स्थितियां:
1. यह केवल करणीय प्रणालियों के लिए मान्य है।
2. (1 – z-1) X(z) के ध्रुव को इकाई वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए।
गणना:
z- परिवर्तन के लिए अंतिम मान प्रमेय है:
\( = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\frac{{\left( {1 - {z^{ - 1}}} \right){z^{ - 1}}\left( {1 - {z^{ - 4}}} \right)}}{{{{\left( {1 - {z^{ - 1}}} \right)}^2}}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\;\frac{{\left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{z^4}\left( {z - 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\;\frac{{\left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{z^4}}} \)
= 1/4 × 1 × 2 × 2 = 1
निम्न द्वारा परिभाषित एक सिग्नल पर विचार कीजिए।
\(x\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{j10t}}}&{for\left| t \right| \le 1}\\ 0&{for\left| t \right| > 1} \end{array}} \right.\)
इसका फूरियर रूपांतर क्या है?Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक निरंतर संकेत x(t) का फूरियर रूपांतर इस प्रकार दिया गया है:
\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty}^{\infty} x(t) ~{e^{ - j\omega t}}~dt \)
विश्लेषण:
दिया हुआ:
x(t) = ej10t को t = -1 से 1 तक परिभाषित किया गया है।
\( X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{j10t}}.{e^{ - j\omega t}}dt = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{j\left( {10 - \omega } \right)t}}dt\)
\(X(\omega) = \left. {\frac{{{e^{j\left( {10 - \omega } \right)t}}}}{{j\left( {10 - \omega } \right)}}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{2\sin \left( {\omega - 10} \right)}}{{\left( {\omega - 10} \right)}} \)
मान लीजिए \(X(s) = \frac{{3{s} + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\) सिग्नल x(t) का लाप्लास रूपांतरण है। तो x(0+) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
प्रारंभिक मान प्रमेय:
प्रारंभिक मान प्रमेय लाप्लास रूपांतर के मूल गुणों में से एक है जिसका उपयोग लाप्लास डोमेन में प्रारंभिक अवस्था (t = 0) पर प्रणाली की प्रतिक्रिया को खोजने के लिए किया जाता है। गणितीय रूप से यह निम्न द्वारा दिया गया है
\({\bf{f}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\bf{f}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s\;F\left( s \right)\)
जहाँ
f(t) प्रणाली फलन है
F(s) प्रणाली फलन f(t) का लाप्लास रूपांतर है
f(0+) प्रणाली का प्रारंभिक मान है
सूचना:
- लागू किये जाने वाले अंतिम प्रमेय के लिए प्रणाली को स्थिर-अवस्था में संतुलित होना चाहिए और इसके लिए ध्रुवों का वास्तविक भाग s तल के बाएँ पक्ष पर होना चाहिए।
- दिए गए प्रश्न में ठीक अंतिम प्रमेय को लागू नहीं किया गया है लेकिन केवल X(0+) की गणना की गयी है।
गणना:
दिया गया है कि,
\(X(s) = \frac{{3{s} + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)
\({\bf{x}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\bf{x}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s\;X\left( s \right)\)
\({\bf{x}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\bf{f}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s.\;\frac{{3{s} + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} \;\frac{{3{s^2} + 5s}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)
= 3
सिग्नल x(t) = (2 + sin t)2 का सम और विषम भाग ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Signals and Systems Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा :
किसी दिए गए सिग्नल x(t) को उसके सम भाग और विषम भाग के योग के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात
x(t) = xe(t) + xo(t)
xe(t) = g(t) के सम भाग की गणना इस प्रकार की जाती है:
\(x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}\)
xo(t) = x(t) के विषम भाग की गणना इस प्रकार की जाती है:
\(x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}\)
गणना :
दिया हुआ:
x(t) = (2 + sin t)2
x(t) = 4 + sin2t + 4 sin t
x(-t) = 4 + sin2t - 4 sin t
g(t) का सम भाग इस प्रकार परिकलित होता है:
\(x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}\)
\(=\frac{4+sin^2t+4 sint+4+sin^2t-4 sint }{2}\)
= 4 + sin2t
x(t) के विषम भाग की गणना इस प्रकार की जाती है:
\(x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}\) \(\)
\(=\frac{4+sin^2t+4 sint-4-sin^2t+4 sint }{2}\)
= 4 sin t