বীজগণিত MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Algebra - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

দেওয়া হয়েছে:

দুইজন ছাত্র পরীক্ষা দিতে এসেছিল।

তাদের মধ্যে একজন অন্যজনের তুলনায় 9 নম্বর বেশি পেয়েছে।

তার নম্বর তাদের মোট নম্বরের 56%।

ব্যবহৃত ধারণা:

প্রদত্ত শর্তগুলি উপস্থাপন করতে এবং অজানাগুলির সমাধান করতে বীজগণিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করুন।

হিসাব:

যে শিক্ষার্থী কম নম্বর পেয়েছে তার নম্বর x ধরা যাক।

তাহলে, যে শিক্ষার্থী বেশি নম্বর পেয়েছে তার নম্বর হল x + 9।

তাদের নম্বরের যোগফল = x + (x + 9) = 2x + 9।

সমস্যা অনুসারে, যে শিক্ষার্থী বেশি নম্বর পেয়েছে তার নম্বর তাদের নম্বরের যোগফলের 56%।

⇒ x + 9 = 56/100 × (2x + 9)

⇒ x + 9 = 0.56(2x + 9)

⇒ x + 9 = 1.12x + 5.04

⇒ x + 9 - 1.12x = 5.04

⇒ -0.12x + 9 = 5.04

⇒ -0.12x = 5.04 - 9

⇒ -0.12x = -3.96

⇒ x = -3.96 / -0.12

⇒ x = 33

কম নম্বর পাওয়া শিক্ষার্থীর নম্বর = 33

যে শিক্ষার্থী বেশি নম্বর পেয়েছে তার নম্বর = 33 + 9 = 42

∴ শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বর হল 33 এবং 42।

প্রদত্ত:

a + b + c = 7 এবং ab + bc + ca = 1

অনুসৃত সূত্র:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)2 - 3(ab + bc + ca)]

গণনা:

আমরা জানি,

⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

⇒ 7 [7² - 3 × 1]

⇒ 7 (49 - 3)

⇒ 7 × 46

প্রদত্ত:

\(\dfrac{(2.46 \times 2.46-1.46 \times 1.46)}{(2.46-1.46)}\)

ব্যবহৃত সূত্র:

\((a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)\)

গণনা:

⇒ \(\dfrac{(2.46 + 1.46)(2.46 - 1.46)}{(2.46-1.46)}\)

⇒ \(\dfrac{(2.46^2 - 1.46^2)}{(2.46-1.46)}\)

⇒ \((2.46 + 1.46)\)

⇒ 3.92

⇒ \(\dfrac{392}{100}\)

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (2).

প্রদত্ত:

\((x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})(x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^4+\dfrac{1}{x^4}) \) এর মান হল:

ব্যবহৃত সূত্র:

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

গণনা:

\((x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})\) = \((x^2 - \dfrac{1}{x^2})\)

⇒ \((x^2 - \dfrac{1}{x^2})(x^2 + \dfrac{1}{x^2})\) = \((x^4 - \dfrac{1}{x^4})\)

⇒ \((x^4 - \dfrac{1}{x^4})(x^4 + \dfrac{1}{x^4})\) = \((x^8 - \dfrac{1}{x^8})\)

সুতরাং, \(\rm \left(x+\frac{1}{x}\right)\rm \left(x-\frac{1}{x}\right)\rm \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\rm \left(x^4+\frac{1}{x^4}\right) \) = \((x^8 - \dfrac{1}{x^8})\)

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (2)।

প্রদত্ত:

একটি স্ক্যানারের দাম একটি প্রিন্টারের দাম থেকে 7000 টাকা কম।

প্রিন্টারের দাম স্ক্যানারের দামের দ্বিগুণ।

গণনা:

ধরা যাক, স্ক্যানারের দাম x টাকা।

প্রিন্টারের দাম = 2x টাকা।

প্রশ্নানুসারে:

2x - x = 7000

⇒ x = 7000

∴ সঠিক উত্তরটি বিকল্প (3).

প্রদত্ত:

x - 1/x = 3

অনুসৃত ধারণা:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

গণনা:

প্রদত্ত পরিচয় প্রয়োগ করে: 
  
⇒ x³ - (1/x)³ = (x - 1/x)³ + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x³ - (1/x)³ = (3)³ + 3(1)(3)

⇒ x³ - (1/x)³ = 27 + 9

⇒ x³ - (1/x)³ = 36

∴ x³ - (1/x)³ এর মান হল 36 

প্রদত্ত:

x = √10 + 3

অনুসৃত সূত্র: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

গণনা:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{√ 10{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {√ 10 + {\rm{\;}}3} \right)\left( {√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {√ 10 } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1)-এর উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ নির্ণেয় মান 234

 Shortcut Trickপ্রদত্ত:

x = √10 + 3

অনুসৃত সূত্র: 

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

গণনা:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ নির্ণেয় মান 234

দেওয়া :

p – 1/p = √7

সূত্র:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3(p – 1/p)

গণনা:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3 (p – 1/p)

⇒ p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 7√7 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 10√7

Shortcut Trick x - 1/x = a, তারপর x³ - 1/x³ = a³ + 3a

এখানে, a = √7 ( মানটি প্রয়োজনীয় eqⁿ এ রাখুন)

⇒p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7

⇒p3 – 1/p3 = 10√7 ।

তাই; বিকল্প 4) সঠিক।

প্রদত্ত:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 এবং abc = 15

অনুসৃত ধারণা:

a³ + b³ + c³ - 3abc = a + b + c × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

গণনা:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ সঠিক পছন্দ হল বিকল্প 1

⇒ x2/3 + x1/3 = 2

⇒ (x2/3 + x1/3)3 = 23

⇒ x2 + x + 3x(x2/3 + x1/3) = 8

⇒ x2 + 7x - 8 = 0

⇒ x2 + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 বা x = 1

প্রদত্ত:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

অনুসৃত ধারণা:

যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (ax2 + bx + c=0)-এর মূলগুলি সমান হয়, তবে নিয়ামকটি শূন্য হবে, অর্থাৎ b2 – 4ac = 0

গণনা:

⇒ D = B² – 4AC = 0

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

যখন a + b + c = 0, তখন (a³ + b³ + c³) = 3abc,

প্রদত্ত 

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5।

ধারণা

একটি বহুপদের ডিগ্রী, অ-শূন্য সহগের সাথে তার একক পদের ডিগ্রী সর্বাধিক হয়। 

সমাধান

2x ⁵ এর বহুপদের ডিগ্রি = 5 

2x ³ y ³ এর বহুপদের ডিগ্রি = 3 + 3 = 6

4y ⁴ এর বহুপদের ডিগ্রি = 4 

5 এর বহুপদের ডিগ্রি = 0

সুতরাং, সর্বোচ্চ ডিগ্রি হল 6।

∴ বহুপদের ডিগ্রি = 6

ধরি, আমার বর্তমান বয়স = x বছর এবং আমার তুতোবোনের বয়স = y বছর

আমার বর্তমান বয়সের তিন-পঞ্চমাংশ আমার এক তুতোবোনের বয়সের পাঁচ-ষষ্ঠাংশের সমান,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

দশ বছর আগের আমার বয়স চার বছর পরে তার বয়সের সমান হবে।

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

∴ x = 50 বছর

প্রদত্ত :

x2 – x – 1 = 0

অনুসৃত সূত্র :

যদি প্রদত্ত সমীকরণটি হয়  ax2 + bx + c = 0

মূলগুলির যোগফল = -b/a

এবং মূলগুলির গুণফল = c/a

গণনা :

 যদি α এবং β  x2 – x – 1 = 0 এর মূল হয়, তবে

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

এখন, যদি (α/β) এবং (β/α) মূল হয়, তবে,

⇒ মূলগুলির যোগফল = (α/β) + (β/α)

⇒ মূলগুলির  যোগফল = (α2 + β2)/αβ

⇒ মূলগুলির যোগফল= [(α + β)2 – 2αβ]/αβ

⇒ মূলগুলির  যোগফল = (1)2 – 2(-1)]/(-1) = -3

⇒ মূলগুলির গুণফল = (α/β) × (β/α) = 1

এখন, সমীকরণটি হল-

⇒ x2 – (মূলগুলির  যোগফল) x + মূলগুলির  গুণফল= 0

⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0