করণী ও সূচক MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Surds and Indices - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

\(\rm x = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}}\)

অনুসৃত ধারণা:

যদি x + 1/x = a হয়, তাহলে x² + 1/x² = a² - 2

গণনা:

⇒ \(\rm x = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{x} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 - 2}}\)

⇒ x + 1/x = \(\frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} + \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 - 2}}\)

⇒ x + 1/x = \(\frac{(\sqrt 5 - 2)^2 + (\sqrt 5 + 2)^2}{(\sqrt 5 +2)(\sqrt 5 - 2)}\)

⇒ x + 1/x = 18

⇒ x2 + 1/x2 = a2 - 2

⇒ x2 + 1/x² = 18² - 2

⇒ 322

∴ 4 নম্বর বিকল্পটি সঠিক উত্তর।

গণনা:

\(√{(159-√{(244-√{(375-√{196})})})}\)

\(√{(159-√{(244-√{(375- 14)})})}\)

\(√{(159-√{(244-√{(361)})})}\)

\(√{(159-√{(244-19)})}\)

\(√{(159-√{(225)})}\)

\(√{(159-15)}\)

√144

12

∴ বিকল্প 4 সঠিক উত্তর।

গণনা:

⇒ (24 x 36 x 24 x 36) ÷ (2(\(\sqrt {1296 \div 2)} {)^2}\)

ব্যবহৃত ধারণা:

a ^m xa ⁿ = a ^{m + n}

এবং a ^m = (1/a) ^-m

গণনা:

\(\left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^2 \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-1} \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-2} \times \left( {\frac{{63}}{{67}}} \right) \)

\( ⇒ \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^2 \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{- 1} \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-2} \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right )^{-1} \)

\( ⇒ \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{2-1-2-1} = \left( {\frac{{67}}{{63}} } \right)^{-2}= \left( {\frac{{63}}{{67}}} \right)^{2}\)

\( ⇒ \left(\frac{63^2}{67^2} \right) = \frac{3969}{4489}\)

প্রদত্ত:

(6)x+5 ÷ (6)-2x+3 = (6)2x-5 × [(6)-2]x+4

অনুসৃত​ সূত্র:

a^m/aⁿ = a^{m - n} 

a^m x aⁿ = a^{m + n} 

(a^m)ⁿ = a^mn 

গণনা:

⇒ (6)x+5 ÷ (6)-2x+3 = (6)2x-5 × [(6)-2]x+4

⇒ (6)x+5-(^-2x+3) = (6)2x-5 × (6)-2(x+4)

⇒ (6)^{3x + 2} = (6)2x - 5 × 6^{(- 2x - 8)} 

⇒ (6)3x + 2 = (6)⁽2x - 5 + ^{-2x - 8)} 

উভয় পক্ষের 6 এর ঘাত তুলনা করে পাই,

3x + 2 = 2x - 5 + -2x - 8

3x + 2 = -13

3x = -15

x = -15/3 

x = - 5 

∴ সঠিক উত্তর হল -5

অনুসৃত সূত্র :

(a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

গণনা:

প্রদত্ত রাশি: 

​\(\sqrt {8\; + \;2\sqrt {15} \;} \)​​​

⇒ \(\sqrt {5\; + \;3\; + \;2\times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{(\sqrt 5 )}^2}\; + \;{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\; + \;2 \times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{\left( {\;\sqrt 5 \; + \;\sqrt 3 \;} \right)}^2}\;} \)

⇒  \(\sqrt 5 + \sqrt 3 \)

ধারণা:

আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করে √x খুঁজে পেতে পারি।

গণনা:

√[(10 + √25) (12 - √49)]

⇒ √[(10 + 5)(12 – 7)]

⇒ √(15 × 5)

⇒ √(3 × 5 × 5)

⇒ 5√3

প্রদত্ত,

23 × 34 × 1080 ÷ 15 = 6x

⇒ 23 × 34 × 72 = 6x

⇒ 23 × 34 × (2 × 62) = 6x

⇒ 24 × 34 × 62 = 6x

⇒ (2 × 3)4 × 62 = 6x           [∵ xm × ym = (xy)m]

⇒ 64 × 62 = 6x

⇒ 6(4 + 2) = 6x

⇒ x = 6

প্রদত্ত:

√3n = 729

অনুসৃত সূত্র:

(x^a)^b = x^ab

x^a = x^b হলে a = b 

গণনা:

√3n = 729

⇒ √3n = (3²)³

⇒ (3n)^1/2 = (32)3

⇒ (3n)1/2 = 3⁶

⇒ n/2 = 6 

∴  n = 12 

পদ্ধতি I: (3 + 2√5)²

= (32 + (2√5)2 + 2 × 3 × 2√5)

= 9 + 20 + 12√5 = 29 + 12√5

তুলনা করলে, 29 + 12√5 = 29 + K√5

আমরা পাই,

K = 12

Alternate Method

29 + 12√5 = 29 + K√5

⇒ K√5 = 29 - 29 + 12√5

⇒ K√5 = 12√5

∴ K = 12

বিবৃতি I:

2√3 > 3√2
উপরে প্রদত্ত সম্পর্ক সঠিক কি না তা পরীক্ষা করতে উভয় পক্ষে বর্গ করে সরলীকরণ করুন।

⇒ (2√3)² > (3√2)²

⇒ 12 > 18 যা সত্য নয়, আমরা জানি যে 18 12 এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, বিবৃতিতে প্রদত্ত সম্পর্কটি সত্য নয়।

বিবৃতি II:
এখন, বিবৃতি II এ প্রদত্ত মানগুলিকে সরলীকরণ করা হচ্ছে

(দ্রষ্টব্য: 2√8 = 2√(4 × 2) = 4√2)

ডান দিক থেকে বর্গমূল নিলে 4√2 > 2√8

⇒ 4√2 > 2 × 2√2

⇒ 4√2 > 4√2 যা সত্য নয়, কারণ বাম দিকের মান ডানদিকের মানের সমান।
সুতরাং, বিবৃতি II এ প্রদত্ত সম্পর্কটিও সত্য নয়।

প্রদত্ত:

(3/5) x = 81/625

গণনা:

আমরা জানি,

34 = 81 এবং 54 = 625 

⇒ (3/5)4 = 81/625

(3/5)x = 81/625

∴ উভয় সমীকরণের তুলনা করে, আমরা পাই

x = 4

এখন,

xx  = 44 = 256

এই ধরণের প্রশ্নগুলির সমাধান করতে, নীচে দেওয়া "করণী এবং সূচক" এর নিয়ম অনুসরণ করুন:

সূচকের নিয়ম:

1. am × an = a{m + n}

2. am ÷ an = a{m - n}

3. (am)n = amn

4. (a)-m = 1/am

5. (a)m/n = n√am

6. (a)0 = 1

\({625^{0.17}} \times {625^{0.08}} = {25^?} \times {25^{- \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.17\; + \;0.08}} = {25^{? + (- \frac{3}{2})}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.25}} = {25^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{\frac{1}{4}}} = {\left( {{5^2}} \right)^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow 5 = {5^{2 \times? - 3}}\)

⇒ 2 × ? - 3 = 1

⇒ ? = (1 + 3)/2

∴ ? = 2

প্রদত্ত:

2x = 4y = 8z

\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z}=4\)

গণনা:

2x = 4y = 8z

⇒ 2x = 22y = 23z

⇒ x = 2y = 3z

\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z}=4\)

⇒ \(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{4x}=4\)

⇒ 7/4x = 4

∴ x = 7/16