కరణులు మరియు ఘాతాంకాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Surds and Indices - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినది:

\(\rm x = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}}\)

ఉపయోగించిన భావన:

x + 1/x = a అయితే, x² + 1/x² = a² - 2

గణన:

⇒ \(\rm x = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{x} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 - 2}}\)

⇒ x + 1/x = \(\frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} + \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 - 2}}\)

⇒ x + 1/x = \(\frac{(\sqrt 5 - 2)^2 + (\sqrt 5 + 2)^2}{(\sqrt 5 +2)(\sqrt 5 - 2)}\)

⇒ x + 1/x = 18

⇒ x2 + 1/x2 = a2 - 2

⇒ x2 + 1/x² = 18² - 2

⇒ 322

∴ 4వ ఎంపిక సరైన సమాధానం.

లెక్కింపు:

\(√{(159-√{(244-√{(375-√{196})})})}\)

\(√{(159-√{(244-√{(375- 14)})})}\)

\(√{(159-√{(244-√{(361)})})}\)

\(√{(159-√{(244-19)})}\)

\(√{(159-√{(225)})}\)

\(√{(159-15)}\)

√144

12

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

గణన:

⇒ (24 x 36 x 24 x 36) ÷ (2( \(\sqrt {1296 \div 2)} {)^2}\)

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

am × an = am + n

మరియు am = (1/a)-m

సాధన:

\(\left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^2 \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-1} \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-2} \times \left( {\frac{{63}}{{67}}} \right) \)

\( ⇒ \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^2 \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-1} \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-2} \times \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-1} \)

\( ⇒ \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{2-1-2-1} = \left( {\frac{{67}}{{63}}} \right)^{-2}= \left( {\frac{{63}}{{67}}} \right)^{2}\)

\( ⇒ \left(\frac{63^2}{67^2} \right) = \frac{3969}{4489}\)

ఇలాంటి ప్రశ్నలు పరిష్కరించడానికి ఘాతాలు మరియు ఘాతాంకాల సూత్రాలు తెలుసుకోవాలి:

ఘాతాంకాల సూత్రాలు:

1. a^m × aⁿ = a^{{m + n}}

2. a^m ÷ aⁿ = a^{{m - n}}

3. (a^m)ⁿ = a^mn

4. (a)^-m = 1/a^m

5. (a)^m/n = ⁿ√a^m

6. (a)⁰ = 1

\({625^{0.17}} \times {625^{0.08}} = {25^?} \times {25^{- \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.17\; + \;0.08}} = {25^{? + (- \frac{3}{2})}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.25}} = {25^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{\frac{1}{4}}} = {\left( {{5^2}} \right)^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow 5 = {5^{2 \times? - 3}}\)

⇒ 2 × ? - 3 = 1

⇒ ? = (1 + 3)/2

∴ ? = 2

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన సమీకరణం:

​\(\sqrt {8\; + \;2\sqrt {15} \;} \)​​​

⇒ \(\sqrt {5\; + \;3\; + \;2\times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{(\sqrt 5 )}^2}\; + \;{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\; + \;2 \times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{\left( {\;\sqrt 5 \; + \;\sqrt 3 \;} \right)}^2}\;} \)

⇒  \(\sqrt 5 + \sqrt 3 \)

భావన:

కారకం పద్ధతిని ఉపయోగించి మనము √x ను కనుగొనవచ్చు.

లెక్కింపు:

√[(10 + √25) (12 - √49)]

⇒ √(10 + 5)(12 – 7)

⇒ √(15 × 5)

⇒ √(3 × 5 × 5)

⇒ 5√3

ఇచ్చినది,

2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^x

⇒ 2³ × 3⁴ × 72 = 6^x

⇒ 2³ × 3⁴ × (2 × 6²) = 6^x

⇒ 2⁴ × 3⁴ × 6² = 6^x

⇒ (2 × 3)⁴ × 6² = 6^x           [∵ x^m × y^m = (xy)^m]

⇒ 6⁴ × 6² = 6^x

⇒ 6^{(4 + 2)} = 6^x

⇒ x = 6

ఇవ్వబడినది:

√3 n = 729

ఉపయోగించవలసిన సూత్రాలు:

(x ^a ) ^b = x ^ab

x ^a = x ^b అయితే a = b

గణన:

√3 n = 729

⇒ √3 n = (3 ² ) ³

⇒ (3 n ) ^1/2 = (3 2 ) 3

⇒ (3 n ) 1/2 = 3 ⁶

⇒ n/2 = 6

∴ n = 12

(3 + 2√5)2

= (32 + (2√5)2 + 2 × 3 × 2√5)

= 9 + 20 + 12√5 = 29 + 12√5

పోల్చినప్పుడు, 29 + 12√5 = 29 + K√5

మాకు దొరికింది,

K = 12

లేదా,

29 + 12√5 = 29 + K√5

⇒ K√5 = 29 - 29 + 12√5

⇒ K√5 = 12√5

∴ K = 12

ఇచ్చినది:

(3/5)x = 81/625

లెక్కింపు:

మనకు తెలుసు,

3⁴ = 81 మరియు 5⁴ = 625

(3/5)⁴ = 81/625

(3/5)x = 81/625

రెండింటినీ పోల్చినప్పుడు, మనకు లభిస్తుంది

x = 4

ఇప్పుడు,

xx = 4⁴ = 256

ఇలాంటి ప్రశ్నలు పరిష్కరించడానికి ఘాతాలు మరియు ఘాతాంకాల సూత్రాలు తెలుసుకోవాలి:

ఘాతాంకాల సూత్రాలు:

1. a^m × aⁿ = a^{{m + n}}

2. a^m ÷ aⁿ = a^{{m - n}}

3. (a^m)ⁿ = a^mn

4. (a)^-m = 1/a^m

5. (a)^m/n = ⁿ√a^m

6. (a)⁰ = 1

\({625^{0.17}} \times {625^{0.08}} = {25^?} \times {25^{- \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.17\; + \;0.08}} = {25^{? + (- \frac{3}{2})}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.25}} = {25^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{\frac{1}{4}}} = {\left( {{5^2}} \right)^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow 5 = {5^{2 \times? - 3}}\)

⇒ 2 × ? - 3 = 1

⇒ ? = (1 + 3)/2

∴ ? = 2

ఇవ్వబడిన:

2x = 4y = 8z

\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z}=4\)

లెక్కింపు:

2x = 4y = 8z

⇒ 2x = 22y = 23z

⇒ x = 2y = 3z

\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z}=4\)

⇒ \(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{4x}=4\)

⇒ 7/4x = 4

∴ x = 7/16

\(\Rightarrow \sqrt {176 + \sqrt {2401} } \)

\(\Rightarrow \sqrt {176 + 49} \)

\(\Rightarrow \sqrt {225} \)

15