Theorem on Tangents MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

एक त्रिभुज ABC एक वृत्त के परिगत है।

AN = 7 सेमी

BN = 8 सेमी

AC = 18 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में समान होती हैं।

गणना:

चूँकि एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में समान होती हैं:

AN = AM = 7 सेमी (बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)

BN = BL = 8 सेमी (बिंदु B से स्पर्श रेखाएँ)

CM = CL (बिंदु C से स्पर्श रेखाएँ)

हमें दिया गया है AC = 18 सेमी।

AC = AM + CM

18 = 7 + CM

CM = 18 - 7

CM = 11 सेमी

चूँकि CM = CL, हमारे पास CL = 11 सेमी है।

अब, हम BC की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

BC = BL + CL

BC = 8 + 11

BC = 19 सेमी

इसलिए, BC की लंबाई 19 सेमी है।

दिया गया है:

दो वृत्त परस्पर बाह्यतः बिंदु P पर स्पर्श करते हैं।

AB दोनों वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

स्पर्श बिंदु क्रमशः A और B हैं।

∠PAB = 55°

प्रयुक्त सूत्र:

किसी त्रिभुज में, सभी कोणों का योग 180° होता है।

∠PAB + ∠ABP + ∠APB = 180°

गणना:

चूँकि वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं, इसलिए ∠APB = 90° (स्पर्श रेखाओं का गुण)।

⇒ ∠PAB + ∠ABP + 90° = 180°

⇒ 55° + ∠ABP + 90° = 180°

⇒ ∠ABP = 180° - 145°

⇒ ∠ABP = 35°

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

OP = 17 सेमी

PA = 12 सेमी

PB = 22.5 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

ऐसी स्थिति में = PA × PB = PC × PD

गणना:

मान लीजिए त्रिज्या = x

⇒ PC = 17 - x

तथा PD = 17 + x

प्रश्न के अनुसार

PA × PB = PC × PD

⇒ 12 × 22.5 = (17 - x)(17 + x)

⇒ 270 = 289 - x²

⇒ x² = 19

⇒ x = √19

⇒ r = √(19) सेमी

वृत्त की त्रिज्या √(19) सेमी है।

दिया गया है:

बिंदु A से केंद्र C की दूरी = 17 cm

वृत्त की त्रिज्या = 8 cm

बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ AB और AD खींची गई हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

1. स्पर्श रेखा की लंबाई = √(AC² - त्रिज्या²)

2. चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 2 × (1/2) × आधार × ऊँचाई

गणनाएँ:

चरण 1: प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना कीजिए:

स्पर्श रेखा AB की लंबाई = √(AC² - त्रिज्या²)

= √(17² - 8²)

= √(289 - 64)

= √225

= 15 cm

चरण 2: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

चतुर्भुज ABCD में दो समकोण त्रिभुज (ΔABC और ΔADC) हैं।

प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई

यहाँ, आधार = त्रिज्या = 8 cm, ऊँचाई = स्पर्श रेखा की लंबाई = 15 cm।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × 8 × 15 = 60 cm²

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 2 × 60 = 120 cm²

∴ चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 120 cm² है। सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी = 36 सेमी

पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 15 सेमी

दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 9 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (DCT) = \(\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\)

उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा की लंबाई (TCT) = \(\sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}\)

गणना:

मान लीजिए कि वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी d है।

यहाँ, d = 36 सेमी, r₁ = 15 सेमी, और r₂ = 9 सेमी।

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (DCT) = \(\sqrt{36^2 - (15 - 9)^2}\)

⇒ DCT = \(\sqrt{1296 - 6^2}\)

⇒ DCT = \(\sqrt{1296 - 36}\)

⇒ DCT = \(\sqrt{1260}\)

⇒ DCT = 6√(35)

उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा की लंबाई (TCT) = \(\sqrt{36^2 - (15 + 9)^2}\)

⇒ TCT = \(\sqrt{1296 - 24^2}\)

⇒ TCT = \(\sqrt{1296 - 576}\)

⇒ TCT = \(\sqrt{720}\)

⇒ TCT = 12√(5)

DCT और TCT की लंबाइयों का योग = 6√35 + 12√5

⇒ योग = √5(6√7 + 12)

⇒ योग = √5 ⋅ 6(√7 + 2)

इन दो वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा और एक उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा की लंबाइयों का योग 6√5(√7 + 2) सेमी है।

दिया गया है:

दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से P पर स्पर्श करते हैं।

AB दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, A और B स्पर्श बिंदु हैं, और ∠PAB = 40° है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि दो वृत्त किसी बिंदु पर एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं और दोनों वृत्तों पर एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा खींची जाती है, तो सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा द्वारा उस बिंदु पर अंतरित कोण जहाँ दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, 90° का होता है।

गणना:

अवधारणा के अनुसार, ∠APB = 90°

ΔAPB को ध्यान में रखते हुए,

∠ABP

⇒ 90° - ∠PAB

⇒ 90° - 40° = 50°

∴ ∠ABP का माप 50° है।

दिया गया है:

बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 16 सेमी

छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 8 सेमी

केंद्र (D) के बीच की दूरी = 26 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = √{D2 - (R - r)2}

गणना:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = √{D2 - (R - r)2}

⇒ √{262 - (16 - 8)2}

⇒ √{676 - 64} = √612 = 2 × √153

∴ सही उत्तर 2 √153 है।

प्रयुक्त सूत्र:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = √ (दोनों केन्द्रों के बीच की दूरी² - (r ₁ - r ₂)²

गणना:

दोनों केन्द्रों के बीच की दूरी = d सेमी

सूत्र के अनुसार,

12 = √ (d2 - ( 8  - 3)2.

⇒ 144 = d2 - 25

⇒ d2 = 169

⇒ d = 13

∴ सही विकल्प 3 है।

दिया गया है:

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 10 सेमी 

दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 5 सेमी 

प्रयुक्त सूत्र:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = 2 × √(r1 × r2)

गणना:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = 2 × √(r1 × r2)

⇒  2 × √(10 × 5)

⇒ 10√2 सेमी 

∴ सही उत्तर 10√2 सेमी है।

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर बना कोण समकोण होता है।

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ ∠PAB = 65°

अब ΔAPB में,

⇒ ∠A + ∠B + ∠P = 180°

⇒ 65° + ∠B + 90° = 180°

⇒ ∠B = 180° - 155° = 25°

∴ सही उत्तर 25° है।

दिया गया है:

PT = 8 सेमी 

PA = 6 सेमी

प्रयुक्त सूत्र

PT2 = PA × PB

यहाँ, PT स्पर्शरेखा है

गणना:

माना AB "x" है

PT2 = PA × PB

82 = 6(6 + x)

32/3 = 6 + x

x = 14/3

AB का मान 14/3 सेमी है।

दिया गया:

बड़े वृत्त की त्रिज्या r₁ = 22 सेमी

छोटे वृत्त की त्रिज्या r₂ = 18 सेमी

दो वृत्तों के बीच की दूरी = 32 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा की लंबाई, l = \(\sqrt {d^2\ -\ (r_1\ -\ r_2)^2}\)

जहाँ, d = दो वृत्तों के बीच की दूरी,

r₁ = बड़े वृत्त की त्रिज्या, r₂ = छोटे वृत्त की त्रिज्या

गणना:

प्रश्न के अनुसार

प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा की लंबाई (I)

⇒ \(\sqrt{32^2-(22-18)^2}\)

⇒ \(\sqrt{32^2-4^2} \)

⇒ \(\sqrt{1024-16}\)

⇒ \(\sqrt{1008}\) = 2 \(\sqrt{252} \) सेमी

∴ अभीष्ट परिणाम 2 \(\sqrt{252} \) सेमी होगा

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = 2√r ₁ r ₂ है, जहां r ₁ और r ₂ त्रिज्या हैं

गणना:

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 12

दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 8

फिर, प्रश्न के अनुसार,

उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा BC की लंबाई

= 2√(12 × 8)

= 2√96

= 8√6 सेमी

∴ सही उत्तर 8√6 सेमी है

गणना:

जैसा कि दिया गया व्यंजक C1C2 = r1 + r2 है। 

C1C2 वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी को दर्शाता है।

r1 पहले वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है।

r2 दूसरे वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है।

C1C2 = r1 + r2 दर्शाता है कि वृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी, त्रिज्या के योग के बराबर है, जिसका अर्थ है कि वृत्त एक दूसरे को बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं।

जब वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं तब केवल तीन स्पर्श रेखाएँ संभव होती हैं। 

अर्थात दो सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ और एक अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा।

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

DE एक वृत्त की जीवा है।

KD = 9 सेमी ; DE = 7 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि वृत्त के बाहर एक उभयनिष्ठ बिंदु से एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाए, तो

स्पर्श रेखा² = छेदक रेखा × (छेदक रेखा - जीवा)

गणना:

स्पर्श रेखा और छेदक संबंध से:

⇒ KH² = KD × KE

⇒ KH² = 9 × 16

⇒ KH = √144 = 12 सेमी

∴ सही उत्तर 12 सेमी है।