Theorem on Tangents MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

మొదటి వృత్తం వ్యాసార్ధం = 22 సెం.మీ

రెండవ వృత్తం వ్యాసార్ధం = 10 సెం.మీ

వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం = 37 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\)

ఇక్కడ d వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం, r₁ మొదటి వృత్తం వ్యాసార్ధం, మరియు r₂ రెండవ వృత్తం వ్యాసార్ధం.

గణన:

ఇచ్చినవి:

r₁ = 22 సెం.మీ

r₂ = 10 సెం.మీ

d = 37 సెం.మీ

సూత్రాన్ని అన్వయించడం:

ఉమ్మడి  స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}\)

⇒ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{37^2 - (22 - 10)^2}\)

⇒ ఉమ్మడి  స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{37^2 - 12^2}\)

⇒ ఉమ్మడి  స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{1369 - 144}\)

⇒ఉమ్మడి  స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{1225}\)

⇒ ఉమ్మడి  స్పర్శరేఖ పొడవు = 35 సెం.మీ

MQ రేఖాఖండం పొడవు 35 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన పద్ధతి : 

వృత్తానికి టాంజెంట్ యొక్క స్పర్శ పాయింట్ వద్ద ఉన్న కోణం లంబ కోణం.

గణన

సిద్ధాంతం ప్రకారం,

LQ x LP = LY x LX

XY పొడవు x అనుకుందాం.

⇒ 5 x 15 = 3 x (3 + x)

⇒ 75 = 9 + 3x

⇒ 66 = 3x

⇒ x = 22

XY పొడవు 22.

ఇచ్చినవి:

O కేంద్రంగా గల వృత్తంలో, బాహ్య బిందువు P నుండి A మరియు B ల వద్ద స్పర్శరేఖలు PA మరియు PB లు ఉన్నాయి.

∠APB = 24°

గణన:

∠AOB = 180° - ∠APB

⇒ 180° - 24° = 156°

ఇవ్వబడింది:-

AB మరియు CD అనే రెండు తీగలు P బిందువు వద్ద ఒకదానికొకటి ఖండించుకుంటాయి.

AB = 18 సెం.మీ., PB = 6 సెం.మీ., మరియు CP = 4 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:-

వృత్తం లోపల P బిందువు వద్ద AB మరియు CD అనే రెండు తీగలు ఒకదానికొకటి ఖండించుకుంటే,
అప్పుడు AP × PB = CP × PD

లెక్కింపు:-

AP = AB - PB

⇒ AP = 18 - 6 = 12 సెం.మీ.

సూత్రం ప్రకారం

AP × PB = CP × PD

⇒ 12 × 6 = 4 × PB

⇒PB = 72/4

∴ అవసరమైన సమాధానం 18.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ = √ (రెండు కేంద్రాల మధ్య దూరం² - ( r1  - r2)2

గణన:

రెండు కేంద్రాల మధ్య దూరం = d సెం.మీ

సూత్రం ప్రకారం,

12 = √ (d2 - ( 8  - 3)2.

⇒ 144 = d2 - 25

⇒ d2 = 169

⇒ d = 13

∴ సరైన ఎంపిక 3

ఉపయోగించిన పద్ధతి : 

వృత్తానికి టాంజెంట్ యొక్క స్పర్శ పాయింట్ వద్ద ఉన్న కోణం లంబ కోణం.

ఇచ్చినది:

O అనేది ఈ వృత్తానికి కేంద్రం. బిందువు  P నుండి స్పర్శరేఖ, Q వద్ద వృత్తాన్ని తాకుతుంది.

PQ = 24 సెం.మీ మరియు OQ = 10 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

1. బాహ్య బిందువు నుండి ఒక వృత్తంపై స్పర్శరేఖ గీస్తే, అప్పుడు స్పర్శబిందువు వద్ద, అది వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది.

2. లంబకోణ త్రిభుజంలో, కర్ణం² = ఆసన్న భుజం² + ఎదుటిభుజం²

లెక్కింపు:

భావన ప్రకారం,

∠OQP = 90°

అందువల్ల, OP అనేది లంబకోణ త్రిభుజం అయిన ΔOQP యొక్క కర్ణం.

ఇప్పుడు, OP = \(\sqrt {24^2 + 10^2}\) = 26 సెం.మీ.

∴ OP విలువ 26 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:-

AB మరియు CD అనే రెండు తీగలు P బిందువు వద్ద ఒకదానికొకటి ఖండించుకుంటాయి.

AB = 18 సెం.మీ., PB = 6 సెం.మీ., మరియు CP = 4 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:-

వృత్తం లోపల P బిందువు వద్ద AB మరియు CD అనే రెండు తీగలు ఒకదానికొకటి ఖండించుకుంటే,
అప్పుడు AP × PB = CP × PD

లెక్కింపు:-

AP = AB - PB

⇒ AP = 18 - 6 = 12 సెం.మీ.

సూత్రం ప్రకారం

AP × PB = CP × PD

⇒ 12 × 6 = 4 × PB

⇒PB = 72/4

∴ అవసరమైన సమాధానం 18.

ఇవ్వబడింది:

చిన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం (r) = 4 సెం.మీ

AE = 6 సెం.మీ; EC = 9 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

స్పర్శబిందువు వద్ద వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థంతో స్పర్శరేఖ లంబకోణం చేస్తుంది.

శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం.

గణన:

AD ⊥ AC మరియు BC ⊥ AC

∠DAE = ∠BCE = 90°

△DAE మరియు △BCE లలో

∠DAE = ∠BCE = 90°

∠AED = ∠BEC (శీర్షాభిముఖ కోణం)

△DAE ~ △BCE (AA సరూపత ద్వారా)

C.P.C.T ద్వారా

⇒ AE/EC = AD/BC

⇒ 6/9 = 4/BC

⇒ BC = 36/6 = 6 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం 6 సెం.మీ.

గణన

సిద్ధాంతం ప్రకారం,

LQ x LP = LY x LX

XY పొడవు x అనుకుందాం.

⇒ 5 x 15 = 3 x (3 + x)

⇒ 75 = 9 + 3x

⇒ 66 = 3x

⇒ x = 22

XY పొడవు 22.

ఇచ్చినది:

PA మరియు PB లు O కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అయితే, తద్వారా ∠APB = 54°

గణన:

వ్యాసార్థం మరియు స్పర్శరేఖ వాటి సంపర్క బిందువు వద్ద లంబంగా ఉన్నాయని మనకు తెలుసు.

కాబట్టి,

∠PAO = ∠PBO = 90°

కాబట్టి,

∠AOB = 360 - 54 - 180

⇒ 126°

అలాగే AO = OB = వ్యాసార్ధం

కాబట్టి, ∠OAB = ∠OBA = 54/2

⇒ 27°

∴ కావలసిన సమాధానం 27°

ఇచ్చినవి:

PT అనేది వృత్తానికి టాంజెంట్, దీని కేంద్రం O

OP = 17 సెం.మీ

OT = 8 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రము:

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం: లంబకోణ త్రిభుజంలో, కర్ణం సమానం - 

OP² = OT² + TP²

గణన​:

ఇది, టాంజెంట్ TP యొక్క పొడవు సమానంగా ఉంటుంది:

TP2 = OP2 - OT2  

TP2 = (17)2 - (8)2  

TP2 = 289 - 64

TP2 = 225 

TP = √225 = 15

∴ టాంజెంట్ సెగ్మెంట్ PT పొడవు 15 సెం.మీ.కి సమానం.

ఇచ్చినది:

18 సెం.మీ మరియు 8 సెం.మీ వ్యాసార్థం గల రెండు వృత్తాలు బాహ్యంగా తాకుతాయి

ఉపయోగించిన భావన:

వ్యాసార్థం R1 మరియు R2 గల రెండు వృత్తాలు బాహ్యంగా తాకినట్లయితే, వాటి ప్రత్యక్ష సాధారణ స్పర్శరేఖ = 2√(R1 మరియు R2)

లెక్కింపు:

R1 = 18 సెం.మీ

R2 = 8 సెం.మీ

కాబట్టి, ప్రత్యక్ష సాధారణ స్పర్శరేఖ = 2√(18 × 8)

⇒ 2√144

⇒ 2 × 12

⇒ 24 సెం.మీ

∴ ప్రత్యక్ష సాధారణ స్పర్శరేఖ యొక్క పొడవు 24 సెం.మీ.