वर्ग समीकरण MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मोफत PDF डाउनलोड करा
Last updated on May 22, 2025
Latest Quadratic Equation MCQ Objective Questions
वर्ग समीकरण Question 1:
जर α, β हे समीकरण x2 - 7x + 12 = 0 ची मूळे असतील, तर α2 + β2 समान काय आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 1 Detailed Solution
संकल्पना:
दिलेल्या समीकरणाचे घटक बनवा
स्पष्टीकरण :
x2 - 7x + 12 = 0
x2 - 3x - 4x + 12 = 0
x(x - 3) - 4(x - 3) = 0
(x - 3)(x - 4) = 0
x = 3, 4
म्हणून, α = 3, β = 4
म्हणून, α2 + β2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 चे मूल्य
म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे.
वर्ग समीकरण Question 2:
जर \(x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\) व 4y2 + 4 + 17v = 0 तर x व y यामधील संबंध खालीलपैकी कोणत्या पर्यायाने दाखवता येईल ?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 2 Detailed Solution
वर्ग समीकरण Question 3:
दोन संख्यांची बेरीज 28 आहे आणि त्यांच्या वर्गांची बेरीज 528 आहे. तर त्या दोन्ही संख्यांच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ शोधा.
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 3 Detailed Solution
दिलेले आहे:
दोन संख्यांची बेरीज 28 आहे.
त्यांच्या वर्गांची बेरीज 528 आहे.
वापरलेले सूत्र:
(a + b)² = a² + b² + 2ab
गणना:
समजा, त्या दोन संख्या a आणि b आहेत.
a + b = 28
a2 + b2 = 528
आपल्याला माहित आहे:
(a + b)² = a² + b² + 2ab
दिलेले मूल्ये ठेवल्यास:
⇒ (28)2 = 528 + 2ab
⇒ 784 = 528 + 2ab
⇒ 784 - 528 = 2ab
⇒ 256 = 2ab
⇒ ab = 128
आपल्याला दोन्ही संख्यांच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ शोधायचे आहे:
√(ab) = √128
√128 = √(64 × 2)
√128 = 8√2
दोन्ही संख्यांच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ 8√2 आहे.
वर्ग समीकरण Question 4:
जर (a - 18)2 + (b - 12)2 + (c - 6)2 = 0 असेल, तर (a + b + c)1/2 चे मूल्य शोधा.
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 4 Detailed Solution
दिलेले आहे:
(a - 18)2 + (b - 12)2 + (c - 6)2 = 0, तर (a + b + c)1/2 चे मूल्य शोधा.
वापरलेली संकल्पना:
जर (a - x)2 + (b - y)2 + (c - z)2 = 0 असेल, तर a = x, b = y आणि c = z.
गणना:
(a - 18)2 + (b - 12)2 + (c - 6)2 = 0,
a = 18, b =12, आणि c = 6.
(a + b + c)1/2 = (18+ 12 + 6)1/2
⇒ ±6
∴ ±6 हे योग्य उत्तर आहे.
वर्ग समीकरण Question 5:
दोन संख्यांमधील फरक 48 आहे. या दोन संख्यांचे गुणोत्तर 7 आहे ∶ 3. दोन संख्यांची बेरीज किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 5 Detailed Solution
दिले:
दोन संख्यांमधील फरक = 48
दोन संख्यांचे गुणोत्तर = 7:3
वापरलेले सूत्र:
दोन संख्या 7x आणि 3x असू द्या.
दोन संख्यांमधील फरक = 7x - 3x = 48
गणना:
7x - 3x = 48
⇒ 4x = 48
⇒ x = 48 / 4
⇒ x = १२
पहिली संख्या = 7x = 7 × 12 = 84
दुसरी संख्या = 3x = 3 × 12 = 36
दोन संख्यांची बेरीज = 84 + 36
⇒ १२०
दोन संख्यांची बेरीज 120 आहे.
Top Quadratic Equation MCQ Objective Questions
जर 3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2 मध्ये फक्त एक (आवर्ती) उकल असेल, तर a चे धन पूर्णांक उकल काय आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले समीकरण 3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2 आहे
⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0
⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0
जसे समीकरणाला फक्त (एक आवर्ती उकल) आहे
⇒ D = B2 – 4AC = 0
⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0
⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0
⇒ a2 + 20a – 44 = 0
⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0
⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0
⇒ a = 2, -22
∴ a ची धन पूर्णांक उकल = 2.जर α आणि β हे x2 – x – 1 = 0 समीकरणाचे मूळ आहेत, तर α/β आणि β/α वर्गमूळ असलेले समीकरण:
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेल्याप्रमाणे:
x2 – x – 1 = 0
वापरलेले सूत्र:
जर दिलेले समीकरण ax2 + bx + c = 0 आहे
तर मूळांची बेरीज = -b/a
आणि मूळांचा गुणाकार = c/a
गणना:
α आणि β हे x2 – x – 1 = 0 चे मूळ आहेत, तर
⇒ α + β = -(-1) = 1
⇒ αβ = -1
आता, जर (α/β) आणि (β/α) हे मूळ आहेत तर,
⇒ मूळांची बेरीज = (α/β) + (β/α)
⇒ मूळांची बेरीज = (α2 + β2)/αβ
⇒ मूळांची बेरीज = [(α + β)2 – 2αβ]/αβ
⇒ मूळांची बेरीज = (1)2 – 2(-1)]/(-1) = -3
⇒ मूळांचा गुणाकार = (α/β) × (β/α) = 1
आता, तर समीकरण आहे,
⇒ x2 – (मूळांची बेरीज) x + मूळांचा गुणाकार = 0
⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0
⇒ x2 + 3x + 1 = 0वर्गमुळांना अनुसरून वर्ग समीकरणे \(2 + \sqrt 5 \) आणि \(2 - \sqrt 5\) ही आहेत
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेल्याप्रमाणेः,
दोन वर्गमूळ 2 + √5 आणि 2 - √5 आहेत.
वापरलेली संकल्पनाः
वर्ग समीकरणः
x2 - (वर्गमुळांची बेरीज)x + वर्गमुळांचा गुणाकार = 0
गणनाः
दोन वर्गमूळ A आणि B मानू.
⇒ A = 2 + √5 आणि B = 2 - √5
⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4
⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1
तर समीकरण आहे
∴ x2 - 4x - 1 = 0
वर्ग समीकरणासाठी ax2 + bx + c = 0,
वर्गमुळांची बेरीज = (-ब / अ) = 4/1
वर्गमुळांचा गुणाकार = c / a = -1/1
नंतर, b = -4
तर, x च्या गुणकांचे चिन्ह ऋण आहे.
जर 3x2 + ax + 4 हे x – 5 ने पूर्णतः विभाज्य असेल, तर a चे मूल्य शोधा.
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDF3x2 + ax + 4 हे x – 5 ने पूर्णतः विभाज्य आहे,
⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0
⇒ 5a = -79
∴ a = -15.8
5x2 + 2x + Q = 2 या समीकरणाचे एक मूळ हे दुसऱ्या मुळाच्या व्यस्त प्रमाणात आहे. तर Q2 चे मूल्य काढा.
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे:
5x2 + 2x + Q = 2
दिलेले आहे, α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)
संकल्पना:
समजा, ax2 + bx + c = 0 हे वर्गसमीकरणाचे सामान्य रूप आहे असे गृहीत धरू.
समजा, α व β ही दिलेल्या वर्गसमीकरणाची मुळे आहेत.
मुळांची बेरीज:
α + β = − b/a = −(x चा सहगुणक / x2 चा सहगुणक)
मुळांचा गुणाकार:
α × β = c/a = (स्थिर पद / x2 चा सहगुणक)
गणना:
समजा, 5x2 + 2x + Q - 2 = 0 या समीकरणाची मुळे α व β आहेत.
ax2 + bx + c = 0 या सामान्य वर्गसमीकरणाशी तुलना केल्यास,
a = 5, b = 2, c = Q - 2
वापरलेल्या संकल्पनेनुसार ⇒ α.β = (Q – 2)/5 ----(ii)
समीकरण (i) व (ii) वरून,
आपल्याला मिळेल, (Q – 2)/5 = 1
∴ Q चे मूल्य 7 आहे.
म्हणून, Q2 = 72 = 49.
6x2 + 3x2 – 5x + 1 या बहुपदीच्या शून्यांच्या मूल्यांच्या व्युत्क्रमांची बेरीज किती असेल?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDF⇒ 6x2 + 3x2 – 5x + 1
⇒ 9x2 – 5x + 1
समजा a आणि b ही समीकरणांची दोन मुळे आहेत
जसे आपणास माहित आहे,
मुळांची बेरीज (α + β) = (-b)/a = 5/9
मुळांचा गुणाकार (αβ) = c/a = 1/9
प्रश्नानुसार
⇒ 1/α + 1/β
⇒ (α + β)/αβ
⇒ [5/9] / [1/9] = 5k चे मूल्य ज्यासाठी द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0 समान मुळे आहेत -
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेल्याप्रमाणे:
द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0
वापरलेले सूत्र:
b2 = 4ac
गणना:
kx(x – 2) + 6 = 0
⇒ kx 2 – 2kx + 6 = 0
मुळे समान असल्याने
⇒ b 2 = 4ac
⇒ (-2k) 2 = 4 × k × 6
⇒ 4k 2 = 4k(6)
⇒ k = 6
∴ k चे मूल्य 6 आहे.
समीकरण ax2 + x + b = 0 चे मूळ समान असल्यास
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेल्याप्रमाणे:
दिलेले समीकरण ax2 + x + b = 0 आहे
वापरलेली संकल्पना:
चतुर्भुज समीकरणाचे सामान्य स्वरूप ax2 + x + b = 0 आहे
मूळांकरिता अट,
समान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac = 0
असमान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac > 0
काल्पनिक मुळांसाठी, b2 – 4ac < 0
गणना:
समान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac = 0
⇒ b2 = 4ac
चतुर्भुज समीकरणाच्या सामान्य स्वरूपाशी तुलना केल्यानंतर आपल्याला मिळेल
b = 1, a = a आणि c = b
नंतर, b2 = 4ac
⇒ 1 = 4ab
⇒ ab = 1/4
∴ योग्य संबंध ab = 1/4 आहे
ज्याचे \(5 - 2\sqrt 5 \) असे एक वर्गमूळ आहे त्याचे वर्ग समीकरण शोधा.
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिल्याप्रमाणे:
समीकरणाचे एक मूळ \(5 - 2\sqrt 5 \) आहे
संकल्पना:
जर वर्ग समीकरणाचे एक मूळ \(\left( {a + \sqrt b } \right)\)या स्वरुपात असेल तर इतर मूळ संयुग्मी \(\left( {a - \sqrt b } \right)\)असतील आणि याउलट.
वर्ग समीकरण: x2 - (वर्गमूळांची बेरीज) + (वर्गमूळांचा गुणाकार) = 0
पडताळा:
समजा α = \(5 - 2\sqrt 5 \) आणि β = \(5 + 2\sqrt 5 \) आहे
वर्गमूळांची बेरीज = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)
वर्गमूळांचा गुणाकार = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\) = 25 - 20 = 5
आता, वर्ग समीकरण = x2 - 10x + 5 = 0
म्हणून आवश्यक वर्ग समीकरण x2 - 10x + 5 = 0 आहे
x2 – 12x + k = 0 या समीकरणाच्या वर्गमुळांपैकी एक x = 3 आहे. तर दुसरे वर्गमूळ आहे:
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
वर्ग समीकरणाचे वर्गमूळ समीकरण पूर्ण करते, तर एका वर्गमूळाची किंमत ठेवून,
कोणीही माहित नसलेले चल आणि म्हणूनच दुसरे वर्गमूळ शोधू शकतो.
पडताळा:
तर x = 3 हे समीकरण x2 – 12x + k = 0 मध्ये ठेवू,
⇒ 9 – 36 + k = 0
⇒ k = 27
समीकरणामध्ये k ची किंमत ठेवून
आपल्याला मिळेल: x2 – 12x + 27 = 0
⇒ x2 – 9x – 3x + 27 = 0
⇒ x(x – 9) – 3 (x – 9) = 0
⇒ (x – 3)(x – 9) = 0
⇒ x = 3 आणि 9
∴ समीकरणाचे दुसरे वर्गमूळ 9 आहे.