वर्ग समीकरण MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मोफत PDF डाउनलोड करा

संकल्पना -

जर α आणि β ही बहुपदी f(x) = ax2 + bx + c ची मुळे असतील, तर

मुळांची बेरीज = -b/a

मुळांचा गुणाकार = c/a

स्पष्टीकरण -

आता आपल्याकडे -

जर α आणि β ही बहुपदी f(x) = ax2 + bx + c ची मुळे असतील, तर

नंतर α + β = -1 .....(i)

आणि α.β = 1...... (ii)

आता आपल्याला, \(\rm \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) चे मूल्य शोधायचे आहे.

= \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha.\beta}\)

आता समीकरण (i) आणि (ii) चे मूल्य ठेवल्यास - आपल्याकडे,

= -1/1 = -1

म्हणून, पर्याय (3) सत्य आहे.

संकल्पना:

दिलेल्या समीकरणाचे घटक बनवा

स्पष्टीकरण :

x2 - 7x + 12 = 0

x2 - 3x - 4x + 12 = 0

x(x - 3) - 4(x - 3) = 0

(x - 3)(x - 4) = 0

x = 3, 4

म्हणून, α = 3, β = 4

म्हणून, α2 + β2  = 32 + 42  = 9 + 16 = 25 चे मूल्य

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे.

दिलेले आहे:

दोन संख्यांची बेरीज 28 आहे.

त्यांच्या वर्गांची बेरीज 528 आहे.

वापरलेले सूत्र:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

गणना:

समजा, त्या दोन संख्या a आणि b आहेत.

a + b = 28

a2 + b2 = 528

आपल्याला माहित आहे:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

दिलेले मूल्ये ठेवल्यास:

⇒ (28)2 = 528 + 2ab

⇒ 784 = 528 + 2ab

⇒ 784 - 528 = 2ab

⇒ 256 = 2ab

⇒ ab = 128

आपल्याला दोन्ही संख्यांच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ शोधायचे आहे:

√(ab) = √128

√128 = √(64 × 2)

√128 = 8√2

दोन्ही संख्यांच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ 8√2 आहे.

दिलेले आहे:

(a - 18)2 + (b - 12)2 + (c - 6)2 = 0, तर (a + b + c)1/2 चे मूल्य शोधा.

वापरलेली संकल्पना:

जर (a - x)2 + (b - y)2 + (c - z)2 = 0 असेल, तर a = x, b = y आणि c = z.

गणना:

(a - 18)2 + (b - 12)2 + (c - 6)2 = 0,

a = 18, b =12, आणि c = 6.

(a + b + c)^1/2 = (18+ 12 + 6)1/2

⇒ ±6

∴ ±6 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेले समीकरण 3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2 आहे

⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0

जसे समीकरणाला फक्त (एक आवर्ती उकल) आहे

⇒ D = B2 – 4AC = 0

⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a2 + 20a – 44 = 0

⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

दिलेल्याप्रमाणे:

x2 – x – 1 = 0

वापरलेले सूत्र:

जर दिलेले समीकरण ax² + bx + c = 0 आहे

तर मूळांची बेरीज = -b/a

आणि मूळांचा गुणाकार = c/a

गणना:

α आणि β हे x² – x – 1 = 0 चे मूळ आहेत, तर

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

आता, जर (α/β) आणि (β/α) हे मूळ आहेत तर,

⇒ मूळांची बेरीज = (α/β) + (β/α)

⇒ मूळांची बेरीज = (α² + β²)/αβ

⇒ मूळांची बेरीज = [(α + β)² – 2αβ]/αβ

⇒ मूळांची बेरीज = (1)² – 2(-1)]/(-1) = -3

⇒ मूळांचा गुणाकार = (α/β) × (β/α) = 1

आता, तर समीकरण आहे,

⇒ x² – (मूळांची बेरीज) x + मूळांचा गुणाकार = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

दिलेल्याप्रमाणेः,

दोन वर्गमूळ 2 + √5 आणि 2 - √5 आहेत.

वापरलेली संकल्पनाः

वर्ग समीकरणः

x2 - (वर्गमुळांची बेरीज)x + वर्गमुळांचा गुणाकार = 0

गणनाः

दोन वर्गमूळ A आणि B मानू.

⇒ A = 2 + √5 आणि B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

तर समीकरण आहे

∴ x2 - 4x - 1 = 0

वर्ग समीकरणासाठी ax2 + bx + c = 0,

वर्गमुळांची बेरीज = (-ब / अ) = 4/1

वर्गमुळांचा गुणाकार = c / a = -1/1

नंतर, b = -4

तर, x च्या गुणकांचे चिन्ह ऋण आहे.

3x2 + ax + 4  हे x – 5 ने पूर्णतः विभाज्य आहे,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

∴ a = -15.8

दिलेले आहे:

5x2 + 2x + Q = 2

दिलेले आहे, α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

संकल्पना:

समजा, ax² + bx + c = 0 हे वर्गसमीकरणाचे सामान्य रूप आहे असे गृहीत धरू.

समजा, α व β ही दिलेल्या वर्गसमीकरणाची मुळे आहेत.

मुळांची बेरीज:

α + β = − b/a = −(x चा सहगुणक / x² चा सहगुणक)

मुळांचा गुणाकार:

α × β = c/a = (स्थिर पद / x² चा सहगुणक)

गणना:

समजा, 5x² + 2x + Q - 2 = 0 या समीकरणाची मुळे α व β आहेत.

ax² + bx + c = 0 या सामान्य वर्गसमीकरणाशी तुलना केल्यास,

a = 5, b = 2, c = Q - 2

वापरलेल्या संकल्पनेनुसार ⇒ α.β = (Q – 2)/5 ----(ii)

समीकरण (i) व (ii) वरून,

आपल्याला मिळेल, (Q – 2)/5 = 1

∴ Q चे मूल्य 7 आहे.

म्हणून, Q² = 7² = 49.

दिलेल्याप्रमाणे:

द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0

वापरलेले सूत्र:

b2 = 4ac

गणना:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx ² – 2kx + 6 = 0

मुळे समान असल्याने

⇒ b ² = 4ac

⇒ (-2k) ² = 4 × k × 6

⇒ 4k ² = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k चे मूल्य 6 आहे.

⇒ 6x² + 3x² – 5x + 1

⇒ 9x² – 5x + 1

समजा a आणि b ही समीकरणांची दोन मुळे आहेत

जसे आपणास माहित आहे,

मुळांची बेरीज (α + β) = (-b)/a = 5/9

मुळांचा गुणाकार (αβ) = c/a = 1/9

प्रश्नानुसार

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

दिलेल्याप्रमाणे:

दिलेले समीकरण ax2 + x + b = 0 आहे

वापरलेली संकल्पना:

चतुर्भुज समीकरणाचे सामान्य स्वरूप ax2 + x + b = 0 आहे

मूळांकरिता अट,

समान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac = 0 

असमान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac > 0

काल्पनिक मुळांसाठी, b2 – 4ac < 0 

गणना:

समान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac = 0 

⇒ b2 = 4ac

चतुर्भुज समीकरणाच्या सामान्य स्वरूपाशी तुलना केल्यानंतर आपल्याला मिळेल

b = 1, a = a आणि c = b

नंतर, b2 = 4ac

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

∴ योग्य संबंध ab = 1/4 आहे

दिल्याप्रमाणे:

समीकरणाचे एक मूळ  \(5 - 2\sqrt 5 \) आहे

संकल्पना: 

जर वर्ग समीकरणाचे एक मूळ \(\left( {a + \sqrt b } \right)\)या स्वरुपात असेल तर इतर मूळ संयुग्मी \(\left( {a - \sqrt b } \right)\)असतील आणि याउलट.

वर्ग समीकरण: x² - (वर्गमूळांची बेरीज) + (वर्गमूळांचा गुणाकार) = 0

पडताळा: 

समजा α = \(5 - 2\sqrt 5 \) आणि β = \(5 + 2\sqrt 5 \)  आहे

वर्गमूळांची बेरीज = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)  

वर्गमूळां​चा गुणाकार = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\) = 25 - 20 = 5

आता, वर्ग समीकरण = x² - 10x + 5 = 0 

म्हणून आवश्यक वर्ग समीकरण x² - 10x + 5 = 0 आहे

संकल्पना:

वर्ग समीकरणाचे वर्गमूळ समीकरण पूर्ण करते, तर एका वर्गमूळाची किंमत ठेवून,

कोणीही माहित नसलेले चल आणि म्हणूनच दुसरे वर्गमूळ शोधू शकतो.

पडताळा:

तर x = 3 हे समीकरण x2 – 12x + k = 0 मध्ये ठेवू,

⇒ 9 – 36 + k = 0

⇒ k = 27

समीकरणामध्ये k ची किंमत ठेवून 

आपल्याला मिळेल: x2 – 12x + 27 = 0

⇒ x2 – 9x – 3x + 27 = 0

⇒ x(x – 9) – 3 (x – 9) = 0

⇒ (x – 3)(x – 9) = 0

⇒ x = 3 आणि 9

∴ समीकरणाचे दुसरे वर्गमूळ 9 आहे.