Question
Download Solution PDFएक ठोस बेलन और एक ठोस गोला, जिनका द्रव्यमान M और त्रिज्या R समान है, एक ही झुके हुए तल पर ऊपर से बिना फिसले लुढ़कते हैं। वे विराम से शुरू होते हैं। ठोस बेलन के वेग का ठोस गोले के वेग से अनुपात, जिसके साथ वे जमीन पर पहुँचते हैं, होगा
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
- लुढ़कने की गति: लुढ़कने की गति घूर्णन और स्थानांतरण गति का संयोजन है, जहाँ कोई वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है।
- ऊर्जा संरक्षण: यदि कोई गैर-संरक्षी बल जैसे घर्षण कार्य नहीं कर रहा है, तो सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) स्थिर रहती है।
- लुढ़कने वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा: लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
- सूत्र: \(( K.E. = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I ω^2 )\)
- जहाँ ( M ) द्रव्यमान है ( v ) स्थानांतरण वेग है, ( I ) जड़त्व आघूर्ण है और (ω ) कोणीय वेग है।
- स्थानांतरण और घूर्णन वेग के बीच संबंध:
- बिना फिसले लुढ़कने के लिए, स्थानांतरण वेग (v) और कोणीय वेग (ω) के बीच संबंध ( v = ω R ) है, जहाँ ( R ) वस्तु की त्रिज्या है।
- जड़त्व आघूर्ण:
- एक ठोस बेलन के लिए:\( ( I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2 )\)
- एक ठोस गोले के लिए: \(( I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2 )\)
गणना:
यहाँ,
- ठोस बेलन और ठोस गोले का द्रव्यमान: M
- ठोस बेलन और ठोस गोले की त्रिज्या: R
- झुके हुए तल की ऊँचाई: h
ठोस बेलन के लिए:
⇒ ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करके:
⇒ शीर्ष पर कुल ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा, ( U = M g h )
⇒ तल पर कुल ऊर्जा = गतिज ऊर्जा (स्थानांतरण + घूर्णन)
⇒ एक ठोस बेलन के लिए,
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
⇒ \(( \omega = \frac{v_{\text{cylinder}}}{R} ):\) प्रतिस्थापित करना
⇒\( ( M g h = \frac{1}{2} M v_{\text{cylinder}}^2 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} M R^2 \times \left(\frac{v_{\text{cylinder}}}{R}\right)^2 )\)
⇒ \(( M g h = \frac{1}{2} M v_{\text{cylinder}}^2 + \frac{1}{4} M v_{\text{cylinder}}^2 )\)
⇒\( ( M g h = \frac{3}{4} M v_{\text{cylinder}}^2 )\)
\( v_{\text{cylinder}} = \sqrt{\frac{4 g h}{3}} \)
ठोस गोले के लिए:
\(\Rightarrow Mgh = \frac{1}{2} M v_{\text{sphere}}^2 + \frac{1}{2} I_{\text{sphere}} \omega^2\ \)
\(\Rightarrow I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2\)
\(\Rightarrow v = \omega R\) \(\Rightarrow Mgh = \frac{1}{2} M v_{\text{sphere}}^2 + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \times \left(\frac{v_{\text{sphere}}}{R}\right)^2\)
\(\Rightarrow Mgh = \frac{1}{2} M v_{\text{sphere}}^2 + \frac{1}{5} M v_{\text{sphere}}^2 \Rightarrow Mgh = \frac{7}{10} M v_{\text{sphere}}^2 \Rightarrow v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \Rightarrow \frac{v_{\text{cylinder}}}{v_{\text{sphere}}} = \sqrt{\frac{14}{15}} \)