फलन \(F(s) = \frac{5}{{s({s^2} + 3s + 2)}}\) पर विचार कीजिए, जहाँ F(s) फलन f(t) का लाप्लास रूपांतरण है। तो f(t) का प्रारंभिक मान क्या है?

प्रारंभिक मान प्रमेय:

दिए गए लाप्लास रूपांतरण के साथ एक फलन के प्रारंभिक मान को निम्न रूप में प्रारंभिक मान प्रमेय का प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

\(c\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} c\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } sC\left( s \right)\)

यह केवल तब लागू होता है जब C(s) के ध्रुवों की संख्या C(s) के शून्य की संख्या से अधिक होती है। 

अनुप्रयोग:

\(F(s) = \frac{5}{{s({s^2} + 3s + 2)}}\)

चूँकि ध्रुवों की संख्या शून्य की संख्या से अधिक होती है, इसलिए हम निम्न रूप में प्रारंभिक मान प्रमेय को लागू कर सकते हैं:

\(f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } sF\left( s \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } s. \frac{5}{s(s^2+3s+2)}\)

\(=\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \frac{5}{s^2+3s+2}\)

\(=\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty }\frac{5}{s^2(1+\frac{3}{s} +\frac{2}{s^2})}\)

f(0) = 0

अंतिम मान प्रमेय:

अंतिम मान प्रमेय यह बताता है कि किसी प्रणाली के अंतिम मान की गणना निम्न द्वारा की जा सकती है

\(f\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sF\left( s \right)\)

F(s) फलन का लाप्लास रूपांतरण है। 

अंतिम मान प्रमेय के लागू होने के लिए प्रणाली को स्थिर-अवस्था में होना चाहिए और इसके लिए ध्रुवों के वास्तविक भाग को s तल के बाएँ पक्ष पर होना चाहिए।