Deflection of Beam MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Deflection of Beam - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

1. एक स्थिर बीम के सिरे स्थिर होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे उन सिरों पर घूम या विस्थापित नहीं हो सकते हैं। बाधाओं के कारण:

2. स्थिर सिरों पर विक्षेपण शून्य होता है क्योंकि बीम को सहारे पर लंबवत रूप से गति करने की अनुमति नहीं है।

3. स्थिर सिरों पर ढाल भी शून्य होती है क्योंकि स्थिर सहारे पर कोई घुमाव की अनुमति नहीं है।

Additional Information 

सरलतः समर्थित बीम

परिभाषा: एक सरलतः समर्थित बीम वह होता है जो दोनों सिरों पर समर्थित होता है, जिसमें एक सिरा आमतौर पर एक रोलर पर और दूसरा एक काज या पिन पर टिका होता है।

मुख्य विशेषताएँ:

1. बीम सहारे पर घूमने के लिए स्वतंत्र है, जिसका अर्थ है कि सहारे पर कोई आघूर्ण प्रतिरोध नहीं है।

2. यह सहारे पर ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाएँ का अनुभव करता है लेकिन सहारे पर कोई बंकन आघूर्ण नहीं।

3. बीम की लंबाई के साथ विक्षेपण मौजूद है, और यह आमतौर पर मध्य बिंदु पर सबसे अधिक होता है।
4. आम अनुप्रयोग: पुल, भवन की फर्श और छत की संरचनाएँ।

संप्रत्यय:

आघूर्ण क्षेत्र विधि

\(\frac{d^2y}{dx^2}~=~\int\frac{Mx}{EI_x}dx\)

\(\int_A^B\theta~=~\int_A^B\frac{Mx}{EI_x}dx\)

मोहर का प्रमेय संख्या 1

\(\theta_B-\theta_A~=~[A और B के बीच BMD/EI आरेख का क्षेत्रफल] \)

मोहर का प्रमेय संख्या 2

​\(Y_B-Y_A~=~[B और A के बीच BMD/EI आरेख के क्षेत्रफल का आघूर्ण]\)

जहाँ A = संदर्भ बिंदु जहाँ ढाल शून्य, B = मूल बिंदु जहाँ ढाल और विक्षेपण निर्धारित किया जाना है।

क्षेत्र के केन्द्रक की दूरी को मूल से मापा जाना चाहिए।

परिणाम:

चूँकि हमें मध्य बिंदु (C) पर विक्षेपण ज्ञात करना है, इसलिए झुकने वाले आघूर्ण आरेख के आधे क्षेत्र पर विचार किया जा सकता है।

झुकने वाले आघूर्ण आरेख का क्षेत्रफल दिया गया है:

\(A~=~\frac{1}{2}\times \frac{WL}{4}\times \frac{L}{2}\)

\(A~=~\frac{WL^2}{16}\)

BMD/EI आरेख का क्षेत्रफल = \(\frac{{WL^2}}{{16EI}}\)

x̅ = मूल से झुकने वाले आघूर्ण आरेख के केंद्रक की दूरी

\(\bar x ~=~\frac{2}{3}\frac{L}{2}~=~\frac{L}{3}\)

\(विक्षेपण~=~\frac{A\bar x}{EI}~=~\frac{WL^2}{16EI}\times \frac{L}{3}~=~\frac{WL^3}{48EI} \)

अतिरिक्त जानकारी

विभिन्न बीमों का विक्षेपण और ढाल दिया गया है:

जहाँ, y = बीम का विक्षेपण, θ = बीम का ढाल

संप्रत्यय:

पूरी अवधि \( L \) में तीव्रता \( W \) के एक समान वितरित भार (UDL) को ले जाने वाले एक सरल सहारा वाले बीम के लिए, सहारे पर ढलान इस प्रकार दी जाती है:

\( \theta = \frac{W L^3}{24 E I} \)

जहाँ:

• \( W \) = प्रति इकाई लंबाई भार
• \( L \) = बीम की लंबाई
• \( E \) = प्रत्यास्थता का मापांक
• \( I \) = जड़त्व आघूर्ण

Explanation:

विभिन्न बीम के विक्षेपण और ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

जहाँ, y = बीम का विक्षेपण, θ = बीम का ढलान।

व्याख्या:

विभिन्न स्थितियों के लिए विक्षेपण मान नीचे सारणीबद्ध है:

संकल्पना:

बिंदु भार के कारण शुद्धालम्ब धरन के केन्द्र पर विक्षेपण (W):

\(δ_1=\frac{WL^3}{48EI}\)

समान रुप से वितरित भार के कारण शुद्धालम्ब धरन के केन्द्र पर विक्षेपण (W = wL):

\(δ_2=\frac{5wL^4}{384EI}=\frac{5WL^3}{384EI}\;\;\;(\because w=\frac{W}{L})\)

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{\delta_2}{\delta_1}=\frac{5WL^3}{384EI}\times \frac{48EI}{WL^3}=\frac{5}{8}\)

अवधारणा:

बिंदु भार के साथ केंटिलीवर बीम के लिए ढलान,

\(\theta = \frac{{P{L^2}}}{{2EI}} = 0.001\)

∴ \(\frac{{{L^2}}}{{2EI}} = \frac{{0.001}}{P}\)

अब, आघूर्ण के साथ केंटिलीवर बीम के लिए विक्षेपण,

\({\rm{\Delta }} = \frac{{M{L^2}}}{{2EI}} = M \times \frac{{0.001}}{P} = 100 \times \frac{{0.001}}{{10}} = 0.01\;m = 10\;mm\)

अवधारणा:

क्षेत्रफल आघूर्ण विधि

प्रमेय 1 : बीम के किसी भी दो बिंदुओं के ढलान का अंतर उन बिंदुओं \(\frac{M}{{EI}}\) आरेख के बीच आरेख के क्षेत्र के बराबर होता है।

θ B - θ A = B और A के बीच \(\frac{M}{{EI}}\) आरेख के क्षेत्रफल।

प्रमेय 2 : बीम के दो बिंदुओं के विक्षेपण का अंतर उन बिंदुओं के बीच \(\frac{M}{{EI}}\) आरेख के क्षेत्र के आघूर्ण के बराबर होता है।

YB – YA = B और A के बीच \(\frac{M}{{EI}}\) आरेख के क्षेत्रफल का आघूर्ण।

YB – YA = (Ax̅)

गणना:

δ_{अधिकतम} =  Ax̅ 

\({δ _{max}} = \frac{1}{3} \times L \times \frac{{W{L^2}}}{{2EI}} \times \frac{3}{4}L\)

\(\Rightarrow {δ _{max}} = \frac{{W{L^4}}}{{8EI}}\)

संकल्पना: -

हम जानते हैं,

वक्रता की त्रिज्या निम्न द्वारा दी जाती है –

\(R = \frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}}\)

और,बंकन समीकरण से,

\(R = \frac{{EI}}{M}\)

यहाँ, EI – आनमनी दृढ़ता और M – आघूर्ण

बीम का विक्षेपण निम्न मानकर,जैसे कि प्रत्यास्थ वक्र dy / dx का ढलान बहुत निम्न है। तो पद (dy / dx)² की उपेक्षा की जा सकती है।

इसलिए,

\(R = \frac{1}{{\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}} = \frac{{EI}}{M}\)

\(\Rightarrow M = EI\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}\)

संकल्पना:

बिंदु भार के कारण कैंटिलीवर बीम की विक्षेपण = \(\frac{Pl^3}{3EI}\)

Udl के कारण कैंटिलीवर बीम की विक्षेपण = \(\frac{wl^4}{8EI}\)

मध्य बिंदु पर बिंदु भार के कारण SSB की विक्षेपण = \(\frac{Pl^3}{48EI}\)

हल:

कैंटिलीवर बीम के अंत पर विक्षेपण निम्न द्वारा दी गई है,

\(=\frac{wl^4}{8EI}-\frac{Rl^3}{3EI}\)

SSB के मध्य बिंदु पर विक्षेपण।

= \(\frac{Rl^3}{48EI}\)

दोनों स्थितियों की बराबरी करते हुए,

\(\frac{wl^4}{8EI} -\frac{Rl^3}{3EI}= \frac{Rl^3}{48EI}\)

\(\frac{wl^4}{8EI} = \frac{Rl^3}{48EI} + \frac{Rl^3}{3EI}\)

\(\frac{wl^4}{8EI}=(\frac{1+16}{48})\frac{Rl^3}{EI}\)

\(R=\frac{6wl}{17}\)

अवधारणा:

भिन्न-भिन्न आनमनी दृढ़ता वाले एक कैंटीलीवर बीम के मुक्त सिरे पर ढलान का निर्धारण आघूर्ण-क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग करके किया जाता है।

दिया गया है:

• निश्चित छोर से लंबाई L/2 तक आनमनी दृढ़ता: \( EI \)
• शेष लंबाई के लिए आनमनी दृढ़ता: \( EI/2 \)
• मुक्त सिरे पर लगाया गया आघूर्ण: \( M \)
•  

गणना:

आघूर्ण-क्षेत्रफल प्रमेय का उपयोग करते हुए, मुक्त सिरे पर कुल ढलान दोनों खंडों के योगदान के योग द्वारा दिया जाता है।

आनमनी दृढ़ता \( EI \) के साथ पहले खंड (0 से L/2) के लिए:

\( \theta_1 = \frac{M (L/2)}{EI} \)

आनमनी दृढ़ता \( EI/2 \) के साथ दूसरे खंड (L/2 से L) के लिए:

\( \theta_2 = \frac{M (L/2)}{(EI/2)} = \frac{2M (L/2)}{EI} = \frac{ML}{EI} \)

मुक्त सिरे पर कुल ढलान:

\( \theta = \theta_1 + \theta_2 = \frac{ML}{2EI} + \frac{ML}{EI} \)

\( \theta = \frac{3ML}{2EI} \)

अंतिम उत्तर: \( \frac{3ML}{2EI} \)

छोर B पर विक्षेपण = 0

(एकसमान रूप से वितरित भार के कारण नीचे की ओर विक्षेपण) - (RB के कारण ऊपर की ओर विक्षेपण) = 0

\(\frac{{w{l^4}}}{{8EI}} - \frac{{{R_B}{l^3}}}{{3EI}} = 0\)

\(\begin{array}{l} {R_B} = \frac{3}{8}wl\\ {R_A} = wl - \frac{3}{8}wl = \frac{5}{8}wl \end{array}\) 

यहां RB अवलंब की प्रतिक्रिया है।

\(R_B=\frac{3}{8}{\rm{Wl\;}}\left( {{\rm{kN}}} \right)\)

अवधारणा:

समान रूप से वितरित भार के अधीन एक शुद्धालंब धरन के मानक विक्षेपण और ढलान सूत्र नीचे दिए गए हैं:

गणना:

दिया गया है कि:

L1 = L, L2 = 2L

केंद्र पर UDL के तहत विक्षेपण 

\(y_c=\frac{5}{{384}}\frac{{w{L^4}}}{{EI}} \)

⇒ \(y_c \propto L^4\)

\(\frac{y_{c1}}{y_{c2}}=(\frac{L_1}{L_2})^4\)

\(\frac{y_{c1}}{y_{c2}}=(\frac{L}{2L})^4\)

\(\frac{y_{c1}}{y_{c2}}=\frac{1}{16}\)

yc2 = 16 yc1

Important Points 

विभिन्न धरनों का विक्षेपण और ढलान को निम्न द्वारा दिया जाता है:

जहां, y = धरन का विक्षेपण, θ = धरन की ढलान

व्याख्या:

संकल्पना:

विभिन्न बीमों का विक्षेपण और ढलान निम्न द्वारा दिया जाता है:

जहां, y = बीम का विक्षेपण, θ = बीम का ढलान

∴ B और A के बीच अधिकतम विक्षेपण का अनुपात = \(\frac{ \frac{5}{{384}}\frac{{w{L^4}}}{{EI}}}{\frac{{P{L^3}}}{{48EI}}}\) = \(\frac{5}{8}\)