Strain Energy MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Strain Energy - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

प्रमाण प्रतिबलता प्रति इकाई आयतन में संचित विकृति ऊर्जा है जब किसी पदार्थ को उसकी प्रत्यास्थ सीमा तक विकृत किया जाता है। यह प्रत्यास्थ सामर्थ्य (प्रमाण प्रतिबल) के वर्ग पर निर्भर करता है।

दिया गया है:

• प्रारंभिक प्रत्यास्थ सामर्थ्य = \(\sigma_e\)
• प्रत्यास्थ सामर्थ्य 3 गुना बढ़ जाता है → नया प्रत्यास्थ सामर्थ्य = \(3\sigma_e\)
• यंग मापांक (E) स्थिर रहता है

चरण 1: प्रमाण प्रतिबलता सूत्र को याद करें

\( U = \frac{\sigma_e^2}{2E} \)

चरण 2: नई प्रमाण प्रतिबलता की गणना करें

नए प्रत्यास्थ सामर्थ्य \(3\sigma_e\) के साथ:

\( U_{\text{new}} = \frac{(3\sigma_e)^2}{2E} = \frac{9\sigma_e^2}{2E} = 9U \)

निष्कर्ष:

जब प्रत्यास्थ सामर्थ्य 3 गुना बढ़ जाता है, तो प्रमाण प्रतिबलता 9 गुना बढ़ जाती है क्योंकि यह प्रत्यास्थ सामर्थ्य के वर्ग के समानुपाती है।

व्याख्या:

किसी पदार्थ की कठोरता को समझना

परिभाषा: कठोरता किसी पदार्थ की ऊर्जा को अवशोषित करने और बिना फ्रैक्चर हुए प्लास्टिक रूप से विकृत होने की क्षमता का माप है। यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो यह दर्शाता है कि कोई पदार्थ टूटने से पहले कितनी ऊर्जा अवशोषित कर सकता है। कठोरता उन अनुप्रयोगों में आवश्यक है जहाँ पदार्थ अचानक प्रभावों या तनावों के अधीन होते हैं, क्योंकि यह निर्धारित करता है कि कोई पदार्थ टूटे बिना ऐसी शक्तियों का कितना अच्छी तरह सामना कर सकता है।

स्ट्रेस-स्ट्रेन वक्र: कठोरता को समझने के लिए, किसी पदार्थ के स्ट्रेस-स्ट्रेन वक्र का विश्लेषण करना महत्वपूर्ण है। स्ट्रेस-स्ट्रेन वक्र एक ग्राफिकल निरूपण है जो किसी पदार्थ पर लगाए गए तनाव और परिणामी विकृति (विकृति) के बीच के संबंध को दर्शाता है। वक्र में आमतौर पर अलग-अलग क्षेत्र होते हैं जो विकृति के विभिन्न चरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं: इलास्टिक क्षेत्र, उपज बिंदु, प्लास्टिक क्षेत्र और फ्रैक्चर बिंदु।

वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल: किसी पदार्थ की कठोरता को फ्रैक्चर के बिंदु तक स्ट्रेस-स्ट्रेन वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल द्वारा दर्शाया जाता है। इस क्षेत्र में विकृति के इलास्टिक और प्लास्टिक दोनों क्षेत्र शामिल हैं, जो यह दर्शाता है कि टूटने से पहले पदार्थ द्वारा अवशोषित कुल ऊर्जा। वक्र के अंतर्गत क्षेत्र जितना बड़ा होगा, पदार्थ उतना ही कठोर होगा।

इलास्टिक क्षेत्र: स्ट्रेस-स्ट्रेन वक्र के प्रारंभिक भाग में, पदार्थ प्रत्यास्थ रूप से विकृत होता है। इस क्षेत्र में, लगाए गए तनाव को हटाने पर पदार्थ अपने मूल आकार में वापस आ जाता है। इलास्टिक क्षेत्र तनाव और विकृति के बीच एक रैखिक संबंध की विशेषता है, और वक्र के इस भाग के अंतर्गत क्षेत्र पदार्थ में संग्रहीत प्रत्यास्थ ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है।

प्लास्टिक क्षेत्र: उपज बिंदु से परे, पदार्थ प्लास्टिक क्षेत्र में प्रवेश करता है, जहाँ यह स्थायी विकृति से गुजरता है। इस क्षेत्र में, तनाव हटा दिए जाने के बाद पदार्थ अपने मूल आकार में वापस नहीं आता है। वक्र के प्लास्टिक क्षेत्र के अंतर्गत क्षेत्र उस ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है जो पदार्थ द्वारा प्लास्टिक रूप से विकृत होने पर अवशोषित होती है।

कुल क्षेत्रफल का महत्व: स्ट्रेस-स्ट्रेन वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल, जिसमें इलास्टिक और प्लास्टिक दोनों क्षेत्र शामिल हैं, कठोरता का एक व्यापक माप है। यह प्रतिवर्ती (इलास्टिक) और अप्रतिवर्ती (प्लास्टिक) विकृति दोनों के दौरान अवशोषित ऊर्जा के लिए जिम्मेदार है। इसलिए, कठोरता का सही प्रतिनिधित्व वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल है, क्योंकि यह फ्रैक्चर के बिंदु तक ऊर्जा अवशोषण की पदार्थ की क्षमता को दर्शाता है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

विकल्प 2: प्लास्टिक क्षेत्र का क्षेत्रफल

जबकि प्लास्टिक क्षेत्र का क्षेत्रफल किसी पदार्थ की कठोरता में योगदान करता है, यह पदार्थ द्वारा अवशोषित कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। प्लास्टिक क्षेत्र केवल स्थायी विकृति के दौरान अवशोषित ऊर्जा के लिए जिम्मेदार है, उपज से पहले प्रत्यास्थ रूप से संग्रहीत ऊर्जा को अनदेखा करता है। इसलिए, केवल प्लास्टिक क्षेत्र पर विचार करने से कठोरता का अपूर्ण माप मिलता है।

विकल्प 3: इलास्टिक क्षेत्र का क्षेत्रफल

इलास्टिक क्षेत्र का क्षेत्रफल प्रतिवर्ती विकृति के दौरान पदार्थ में संग्रहीत ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। हालाँकि, यह विफलता से पहले पदार्थ द्वारा अवशोषित कुल ऊर्जा का केवल एक हिस्सा है। कठोरता में इलास्टिक और प्लास्टिक दोनों विकृति शामिल हैं, इसलिए केवल इलास्टिक क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित करने से पदार्थ की वास्तविक कठोरता कम हो जाती है।

विकल्प 4: इलास्टिक क्षेत्र का ढाल

इलास्टिक क्षेत्र का ढाल, जिसे प्रत्यास्थता मापांक या यंग मापांक के रूप में जाना जाता है, पदार्थ की कठोरता को इंगित करता है। यह कुल ऊर्जा अवशोषण क्षमता या कठोरता के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है। जबकि कठोरता एक महत्वपूर्ण यांत्रिक गुण है, यह कठोरता का माप नहीं है।

व्याख्या:

बार को खींचने में भार द्वारा किया गया कार्य विकृति ऊर्जा के रूप में जाना जाता है।

विकृति ऊर्जा:

विकृति ऊर्जा वह ऊर्जा है जो विकृति के कारण किसी पिंड में संचित होती है। जब किसी बार या किसी अन्य संरचनात्मक सदस्य पर भार लगाया जाता है, तो वह विकृत हो जाता है और इस विकृति के कारण पदार्थ की आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होती है। भार-प्रेरित विकृति के कारण आंतरिक ऊर्जा में यह वृद्धि विकृति ऊर्जा कहलाती है। सरल शब्दों में, विकृति ऊर्जा वह कार्य है जो बार को खींचने या संपीड़ित करने में भार द्वारा किया जाता है। गणितीय रूप से, यह भार-विकृति वक्र के नीचे के क्षेत्र द्वारा दिया जाता है।

विस्तृत व्याख्या:

जब किसी पदार्थ पर बाहरी बल लगाए जाते हैं, तो वह विकृत हो जाता है, और इस विकृति के कारण पदार्थ के भीतर आंतरिक प्रतिबल और विकृति उत्पन्न होती है। इस विकृति के कारण आवश्यक ऊर्जा पदार्थ में विकृति ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होती है। विकृति ऊर्जा की अवधारणा पदार्थों के यांत्रिकी और संरचनात्मक इंजीनियरिंग के क्षेत्र में मौलिक है।

रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए, प्रतिबल और विकृति के बीच संबंध रैखिक होता है, और विकृति ऊर्जा (U) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

U = 0.5 × σ × ε × V

जहाँ:

• σ पदार्थ पर लगाया गया प्रतिबल है।
• ε पदार्थ द्वारा अनुभव की गई विकृति है।
• V पदार्थ का आयतन है।

यह समीकरण दर्शाता है कि विकृति ऊर्जा प्रतिबल और विकृति के गुणनफल और पदार्थ के आयतन के समानुपाती है। एक अक्षीय लोडिंग परिदृश्य में, जैसे कि बार को खींचना, विकृति ऊर्जा को भार (P) और विकृति (ΔL) के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है:

U = 0.5 × P × ΔL

यहाँ, P बार पर लगाया गया भार है, और ΔL भार के कारण बार की लंबाई में परिवर्तन है। 0.5 का कारक इस तथ्य से आता है कि भार-विकृति संबंध रैखिक है, और किया गया कार्य भार-विकृति वक्र के नीचे त्रिभुज के क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।

विकृति ऊर्जा एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि यह इंजीनियरों को यह समझने में मदद करती है कि विभिन्न भारण स्थितियों के तहत सामग्री और संरचनाएँ कैसे व्यवहार करेंगी। इसका उपयोग संरचनाओं के डिजाइन और विश्लेषण में यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि वे अपने सेवा जीवन के दौरान सामना करने वाले भारों का सुरक्षित रूप से सामना कर सकें।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

1. स्थितिज ऊर्जा: स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु को उसकी स्थिति या विन्यास के कारण प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, जमीन से ऊँचाई पर स्थित किसी वस्तु में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा होती है। जबकि विकृति ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा (विशेष रूप से प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा) का एक रूप है, शब्द "स्थितिज ऊर्जा" अधिक सामान्य है और बार को खींचने के संदर्भ में विशिष्ट नहीं है।

2. गतिज ऊर्जा: गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु को उसकी गति के कारण प्राप्त होती है। यह समीकरण KE = 0.5 × m × v² द्वारा दिया गया है, जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है और v इसका वेग है। गतिज ऊर्जा बार को खींचने के संदर्भ में प्रासंगिक नहीं है, क्योंकि यह विकृति के बजाय गति से संबंधित है।

3. विस्थापन ऊर्जा: विस्थापन ऊर्जा क्रिस्टल संरचना में विस्थापन से जुड़ी ऊर्जा को संदर्भित करती है। विस्थापन क्रिस्टल जालक में दोष हैं जो पदार्थों के प्लास्टिक विरूपण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। जबकि विस्थापन ऊर्जा पदार्थों के यांत्रिक व्यवहार से संबंधित है, यह बार को खींचने के कारण संग्रहीत विकृति ऊर्जा के समान नहीं है।

निष्कर्ष में, सही विकल्प विकृति ऊर्जा है क्योंकि यह विशेष रूप से किसी लागू भार के तहत विकृति के कारण किसी पदार्थ में संग्रहीत ऊर्जा को संदर्भित करता है। यह अवधारणा विभिन्न भारण स्थितियों के तहत सामग्री और संरचनाओं के व्यवहार को समझने में मौलिक है।

व्याख्या:

प्रूफ प्रत्यास्थता

• प्रूफ प्रत्यास्थता को लोच सीमा तक किसी पदार्थ में संग्रहीत की जा सकने वाली अधिकतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह ऊर्जा विकृति ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होती है, जो कि पदार्थ द्वारा अवशोषित ऊर्जा होती है जब वह प्रत्यास्थ रूप से विकृत होता है।

लोच सीमा:

• लोच सीमा वह अधिकतम प्रतिबल है जिसका सामना कोई पदार्थ स्थायी विकृति के बिना कर सकता है। जब पदार्थ को अपनी लोच सीमा के भीतर भारित किया जाता है, तो भार हटाने के बाद वह अपने मूल आकार में वापस आ जाता है।

प्रूफ प्रत्यास्थता की गणना: प्रूफ प्रत्यास्थता की गणना लोच सीमा तक प्रतिबल-विकृति वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का उपयोग करके की जा सकती है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

प्रूफ प्रत्यास्थता = \(\frac{1}{2}\) x प्रतिबल x विकृति

महत्वपूर्ण बिंदु:

• प्रूफ प्रत्यास्थता लोच सीमा के भीतर किसी पदार्थ की ऊर्जा अवशोषण क्षमता का एक माप है।
• यह उन पदार्थों के लिए एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है जो चक्रीय भार के अधीन हैं, क्योंकि यह पदार्थ की स्थायी विकृति के बिना ऊर्जा को अवशोषित करने की क्षमता को इंगित करता है।
• प्रूफ प्रत्यास्थता की इकाई आमतौर पर जूल (J) या ऊर्जा की कोई अन्य इकाई होती है।

अवधारणा:

प्रतिबल-विकृति वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल:

• प्रतिबल-विकृति वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल सामग्री की कठोरता को दर्शाता है। कठोरता को सामग्री द्वारा विफलता तक ऊर्जा अवशोषित करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह प्रति इकाई आयतन ऊर्जा की मात्रा का संकेत है जिसे कोई पदार्थ टूटने से पहले अवशोषित कर सकता है।

कठोरता का मापांक:

• कठोरता मापांक भंगुरता तक ऊर्जा अवशोषित करने की क्षमता है। प्रतिबल-विकृति आरेख से, पूर्ण वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल कठोरता मापांक का माप देता है।

प्रत्यास्थता का मापांक:

• प्रत्यास्थता मापांक को प्रति इकाई आयतन में प्रमाणित प्रत्यास्थता के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबल-विकृति वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल है।

प्रत्यास्थता:

• प्रत्यास्थता को तनाव बल को हटाने पर किसी तनावग्रस्त पिंड द्वारा कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।

प्रमाणित प्रत्यास्थता:

• प्रमाणित प्रत्यास्थता को किसी पिंड में संग्रहीत अधिकतम विकृति ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, यह प्रत्यास्थ सीमा तक तनावग्रस्त होने पर किसी पिंड में संग्रहीत विकृति ऊर्जा की मात्रा है (स्थायी विकृति के बिना ऊर्जा को संग्रहीत या अवशोषित करने की क्षमता)।

व्याख्या:-

प्रत्यास्थता

• एक निकाय में संग्रहीत कुल विकृति ऊर्जा को आमतौर पर प्रत्यास्थता के रूप में जाना जाता है। जब भी विकृत निकाय से तनाव बल हटा दिया जाता है, तो निकाय कार्य करने में सक्षम होता है। इसलिए प्रत्यास्थता को विकृत निकाय की क्षमता के रूप में भी परिभाषित किया जाता है ताकि विकृत बल को हटाने पर काम किया जा सके।
• यह ऊर्जा को अवशोषित करने और प्रघात और प्रभाव भार का विरोध करने का सामग्री का गुणधर्म है।
• इसका मापन प्रत्यास्थ सीमा के तहत प्रति इकाई आयतन में अवशोषित ऊर्जा की मात्रा से किया जाता है। यह गुणधर्म स्प्रिंग सामग्री के लिए आवश्यक होता है।
• सामग्री की प्रत्यास्थता पर विचार किया जाना चाहिए जब इसे प्रघात भारण के अधीन किया जाता है।

प्रमाणक प्रत्यास्थता

• एक निकाय में संग्रहीत अधिकतम विकृति ऊर्जा, प्रत्यास्थता के प्रमाण के रूप में जानी जाती है। निकाय में संचित विकृति ऊर्जा अधिकतम तब होगी जब निकाय प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित हो। इसलिए प्रमाणक प्रत्यास्थता एक निकाय में संग्रहीत विकृति ऊर्जा की मात्रा है जब प्रत्यास्थ सीमा तक विकृति होती है।​
• यह एक निकाय में संग्रहित अधिकतम विकृति ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• तो, यह एक निकाय में संग्रहित विकृति ऊर्जा की मात्रा है जब प्रत्यास्थ सीमा (स्थायी विरूपण के बिना ऊर्जा को संग्रहित या अवशोषित करने की क्षमता) में विकृत होता है।

प्रत्यास्थता का मापांक

• इसे प्रति इकाई आयतन की प्रमाणक प्रत्यास्थता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबल-विकृति वक्र के अंतर्गत क्षेत्र है।

चर्मलता​:

• यह फ्रैक्चर होने से पहले ऊर्जा को अवशोषित करने की सामग्री की क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है। 
• यह गुण उन मशीन घटकों के लिए अनिवार्य होता है जिसे प्रतिघात भारों का सामना करने की आवश्यकता होती है।
• चर्मल पदार्थों में विफल होने से पहले बंकित होने, मुड़ने या खींचे जाने की क्षमता होती है।
• चर्मलता को उस राशि द्वारा मापा जाता है जिसे चर्मलता का मापांक कहा जाता है। चर्मलता का मापांक तनाव परिक्षण में प्रतिबल-विकृति वक्र के तहत कुल क्षेत्रफल है।
• चर्मलता को आइजोड और शार्पी प्रतिघात परिक्षण मशीनों द्वारा मापा जाता है।
• जब एक पदार्थ को गर्म किया जाता है तो यह तन्य या बस नरम हो जाता है और इस प्रकार पदार्थ को विकृत करने के लिए कम तनाव की आवश्यकता होती है और प्रतिबल -अपरूपण वक्र नीचे की ओर झुक जाएगा और इस प्रकार वक्र के नीचे का क्षेत्र कम हो जाता है इस प्रकार चर्मलता कम हो जाती है।
• तापमान बढ़ने पर चर्मलता कम हो जाती है।

कठोरता:

• कठोरता या तो यांत्रिक अभिस्थापन या अपघर्षण द्वारा प्रेरित प्लास्टिक विरूपण को ज्ञात करने के लिए प्रतिरोध का माप होता है।
• कठोरता परिक्षण प्रवेशन के लिए प्रतिरोध को निर्धारित करके एक पदार्थ के सामर्थ्य को मापता है।
• विभिन्न कठोरता परिक्षण विधियों में रॉकवेल, ब्रिनेल, विकर्स, नूप और शॉर ड्यूरोमीटर परीक्षण शामिल हैं।

जब एक सामग्री को बार-बार प्रतिबलों के अधीन किया जाता है तब यह पराभव बिंदु प्रतिबलों से नीचे के प्रतिबलों में विफल होता है। किसी सामग्री की इस तरह की विफलता को श्रांति के रूप में जाना जाता है।

प्रत्यास्थ सीमा से नीचे स्थिर प्रतिबल और उच्च तापमान पर समय के साथ एक सामग्री में धीमे और निरंतर दीर्घीकरण को विसर्पण कहा जाता है।

अक्षीय बल, बंकन आघूर्ण, अपरूपण बल और मरोड़ के कारण लम्बाई s वाले किसी अवयव (यह वक्र या सीधा हो सकता है) में संग्रहीत प्रत्यास्थता विकृति ऊर्जा का संक्षेप निम्नवत है:

बीम में विकृति ऊर्जा

• यह बीम में अपरूपण बल पर निर्भर करता है
• यह बीम में बंकन आघूर्ण पर निर्भर करता है
• यह स्थितिज ऊर्जा से अलग होता है

स्पष्टीकरण:

कैस्टिग्लिआनो की प्रथम प्रमेय-

• रैखिक रूप से प्रत्यास्थ संरचनाओं के लिए, जहां बाहरी बल केवल विकृति का कारण बनते हैं, पूरक ऊर्जा विकृति ऊर्जा के बराबर होती है।
• ऐसी संरचनाओं के लिए, कैस्टिग्लिआनो की प्रथम प्रमेय को किसी विशेष विस्थापन के सापेक्ष में संरचना की विकृति ऊर्जा का पहला आंशिक अवकलज कहा जा सकता है, जो उस बिंदु पर विक्षेपण का कारण बनता है।
• यह प्रथम प्रमेय रैखिक या गैर-रैखिक रूप से प्रत्यास्थ संरचनाओं पर लागू होती है जिसमें तापमान स्थिर होता है और आलम्ब अस्थिर होते हैं।

\(\begin{array}{l} \frac{{\partial U}}{{\partial \Delta }} = P\\ \frac{{\partial U}}{{\partial \theta }} = M \end{array}\)

कैस्टिग्लिआनो की द्वितीय प्रमेय-

• किसी भी बिंदु पर लगाए गए बल के संबंध में संरचना में कुल आंतरिक ऊर्जा का पहला आंशिक अवकलज उस बल के लागू होने के बिंदु पर उसकी क्रिया की दिशा में विक्षेपण के बराबर होता है।
• कैस्टिग्लिआनो की द्वितीय प्रमेय रैखिक रूप से प्रत्यास्थ (हुकेन पदार्थ) संरचनाओं पर लागू होता है जिसमें नियत तापमान और अस्थिर आलम्ब होता है।

\(\begin{array}{l} \frac{{\partial U}}{{\partial P}} = \Delta \\ \frac{{\partial U}}{{\partial M}} = \theta \end{array}\)

स्पष्टीकरण:-

लचीलापन

• यह ऊर्जा को अवशोषित करने और प्रघात और प्रभाव भार का विरोध करने का सामग्री का गुणधर्म है।
• इसका मापन प्रत्यास्थ सीमा के अंदर प्रति इकाई आयतन में अवशोषित ऊर्जा की मात्रा से किया जाता है। यह गुणधर्म स्प्रिंग सामग्री के लिए आवश्यक होता है।
• सामग्री के लचीलेपन पर विचार किया जाना चाहिए जब इसे प्रघात भारण के अधीन किया जाता है।

लचीलापन रोधी 

• यह एक निकाय में संग्रहित अधिकतम विकृति ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• तो, यह एक निकाय में संग्रहित विकृति ऊर्जा की मात्रा है जब प्रत्यास्थ सीमा (स्थायी विरूपण के बिना ऊर्जा को संग्रहित  या अवशोषित करने की क्षमता) में विकृत होता है।

लचीलापन मापांक

• इसे प्रति इकाई आयतन लचीलापन रोधी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह प्रत्यास्थ सीमा तक तनाव-विकृति वक्र के अंतर्गत क्षेत्र है।

जब एक सामग्री को बार-बार प्रतिबल के अधीन किया जाता है, तो यह विफलता बिंदु प्रतिबल से नीचे के प्रतिबलों में विफल होता है। किसी सामग्री की इस तरह की विफलता को श्रांति के रूप में जाना जाता है।

प्रत्यास्थ सीमा से नीचे निरंतर प्रतिबल और उच्च तापमान पर समय के साथ एक सामग्री में धीमे और निरंतर दीर्घीकरण को विसर्पण कहा जाता है।

Additional Information

तापीय प्रतिबल - तापमान में परिवर्तन के कारण प्रतिबल 

श्रांति- श्रांति तब होती है जब एक संरचना चक्रीय भारण के अधीन होती है।

टूट-फूट - यह एक अवनति या क्षति है जो स्वाभाविक रूप से किसी चीज के साथ होती है जो समय के साथ दैनिक उपयोग में होती है।

दृढ़ता मापांक

• यह विभंग तक ऊर्जा अवशोषित करने की क्षमता है।
• तनाव-विकृति आरेख से, पूर्ण वक्र के नीचे का क्षेत्रफल दृढ़ता मॉड्यूल का मापन देता है।

संकल्पना:

नियमित भारण में भारण शून्य से प्रारंभ होता है और धीरे धीरे तब तक बढ़ता है जब तक कि निकाय पूर्ण रूप से भारित नहीं हो जाती है, जबकि तत्काल भारण में भार को अचानक निकाय पर लागू किया जाता है। 

\({σ _{gradual}} = \frac{P}{A}\)

\({σ _{sudden}} = \frac{{2P}}{A}\)

\({\rm{Strain\;energy}}\left( {\rm{U}} \right) = \frac{{{{\rm{σ }}^2}{\rm{V}}}}{{2{\rm{E}}}}\)

गणना:

दिया गया है:

σ_gradual = σ, σ_sudden = 2σ.

\({\rm{Strain\;energy}}\left( {\rm{U}} \right) = \frac{{{{\rm{σ }}^2}{\rm{V}}}}{{2{\rm{E}}}}\)

\({{\rm{U}}_{{\rm{gradual}}}} = \frac{{{{\rm{σ }}^2}{\rm{V}}}}{{2{\rm{E}}}}{\rm{\;}},\)

\({{\rm{U}}_{{\rm{suddenly}}}} = \frac{{{{\left( {2{\rm{σ }}} \right)}^2}{\rm{V}}}}{{2{\rm{E}}}} = \frac{{4{{\rm{σ }}^2}{\rm{V}}}}{{2{\rm{E}}}}\)

\(\frac{{{{\rm{U}}_{{\rm{sudden}}}}}}{{{{\rm{U}}_{{\rm{gradual}}}}}} = \frac{{4{{\rm{σ }}^2}{\rm{V}}}}{{2{\rm{E}}}} \times \frac{{2{\rm{E}}}}{{{{\rm{σ }}^2}{\rm{V}}}} = 4\)

धीरे-धीरे भार को लागू करने की तुलना में अचानक भार को लागू करने के कारण एक निकाय में संग्रहित विकृति ऊर्जा चार गुनी हो जाती है। 

संकल्पना:

• वह ऊर्जा जो विकृति प्रभाव के कारण निकाय में अवशोषित होती है, उसे विकृति ऊर्जा के रूप में जाना जाता है।

           \({\bf{U}} = \frac{1}{2} \times {\bf{\sigma }} \times = \frac{{{{\bf{\sigma }}^2}}}{{2{\bf{E}}}} \times {\bf{vol}}\)

• जब भी विकृति बल को विकृत निकाय से हटाया जाता है, तो निकाय कार्य करने में सक्षम होता है। इसलिए तन्यकता को विकृति बल को हटाने पर एक विकृत निकाय की कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• निकाय में संग्रहित विकृति ऊर्जा उस समय अधिकतम होगी जब निकाय प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित होती है।
• लचीलेपन को एक लोचदार क्षेत्र के भीतर एक घटक द्वारा अवशोषित ऊर्जा के रूप में भी परिभाषित किया जाता है।
• प्रमाणक तन्यकता प्रत्यास्थ सीमा तक विकृत होने पर एक निकाय में संग्रहित विकृति ऊर्जा की मात्रा होती है।
• तन्यकता के मापांक को प्रति इकाई आयतन प्रमाणक तन्यकता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• प्रभाव ऊर्जा को उसके फ्रैक्चर से ठीक पहले घटक द्वारा अवशोषित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे कठोरता भी कहते हैं।

संकल्पना:

अक्षीय भार के कारण प्रिज्मीय बार में संग्रहित विकृति ऊर्जा निम्नवत है:

\(U = \frac{{{P^2}L}}{{2AE}}\)

गणना:

\({U_1}\left( {{P_1}} \right) = \frac{{P_1^2L}}{{2AE}}\)

\({U_2}\left( {{P_2}} \right) = \frac{{P_2^2L}}{{2AE}}\)

\(U\left( {{P_1} + {P_2}} \right) = \frac{{{{\left( {{P_1} + {P_2}} \right)}^2}L}}{{2AE}} = \frac{{\left( {P_1^2 + P_2^2 + 2{P_1}{P_2}} \right)L}}{{2AE}}\)

\(U\left( {{P_1} + {P_2}} \right) = \frac{{P_1^2L}}{{2AE}} + \frac{{P_2^2L}}{{2AE}} + \frac{{2{P_1}{P_2}L}}{{2AE}} = {U_1} + {U_2} + \frac{{{P_1}{P_2}L}}{{AE}}\)

संकल्पना:

विकृति ऊर्जा एक निकाय में इसके प्रत्यास्थ विरुपण के कारण संग्रहीत ऊर्जा है।

विकृति ऊर्जा के लिए सबसे सामान्य सूत्र निम्न है:

U = \(\frac{1}{2}\) x F x δ 

जहाँ, F लागू किया गया बल और δ विरुपण है।

हालाँकि, जब प्रतिबल विकृति ϵ के समानुपाती होता है, विकृति ऊर्जा सूत्र निम्न है:

U = \(\frac{1}{2}\) x V x σ x ϵ 

जहाँ, V सामग्री का आयतन है।

उपरोक्त सूत्रों के आधार पर, विभिन्न प्रकार के बलों/आघूर्णों के कारण सामग्री में विकृति ऊर्जा निम्नानुसार दी गई है:

1. बंकन के कारण विकृति ऊर्जा निम्न है:

U = ∫ \(\frac{M^2}{2EI}\)dx

2. मरोड़ी के कारण विकृति ऊर्जा निम्न है:

U = ∫ \(\frac{T^2L}{2GJ}\)dx

अवधारणा:

संरचनात्मक विश्लेषण के लिए कैस्टिग्लियोनी  के दो प्रमेय इस प्रकार हैं:

कैस्टिग्लियोनी की पहली प्रमेय: किसी बिंदु पर किसी विशेष विक्षेपण के संबंध में वाहिका की कुल विकृति ऊर्जा का आंशिक अवकलन उस बिंदु पर लागू बल के बराबर है जो उसी दिशा में विक्षेपण के समान है।

\(\frac{{\partial {\rm{u}}}}{{\partial {\rm{\delta }}}} = {\rm{w}}\)

कैस्टिग्लिआनो की दूसरी प्रमेय: किसी भी बिंदु पर भार के संबंध में वाहिका की विकृति ऊर्जा का आंशिक अवकलन उस बिंदु पर विक्षेपण के बराबर है।

\(\frac{{\partial {\rm{u}}}}{{\partial {\rm{w}}}} = {\rm{\delta }}\)

इसके अलावा, किसी भी बिंदु पर बल-युग्म के संबंध में वाहिका की विकृति ऊर्जा का आंशिक अवकलन उस बिंदु पर प्रवणता के बराबर है।

\(\frac{{\partial {\rm{u}}}}{{\partial {\rm{M}}}} = {\rm{\theta }}\)

जहाँ,

u वाहिका की विकृति ऊर्जा है 

नोट:

ये प्रमेय बीम और ट्रस दोनों में मान्य हैं, लेकिन ट्रस में विकृति ऊर्जा केवल अक्षीय भार के कारण है।

अवधारणा:

शुद्ध अपरूपण में विकृति ऊर्जा:

• विकृति ऊर्जा, विरूपण के कारण निकाय द्वारा संग्रहित ऊर्जा है।
• नीचे दी गई आकृति में यदि सामग्री पर अपरूपण बल P लगाया जाए तो फलक BC गति करेगा तथा अपरूपण विकृति उत्पन्न करेगा।

विकृति ऊर्जा U = किया गया कार्य = बल × विस्थापन = \(\frac{1}{2}\times{{P}} \times {{C}}{{{C}}_1} = \frac{1}{2}\times{{P}} \times {{CD}} \times \phi {\rm{\;}}\)
\(P = \tau \times BC \)

\(\phi = \frac{\tau}{C} \)

जहाँ,

\(\tau \) = अपरूपण प्रतिबल, ϕ = अपरूपण विकृति, C = दृढ़ता का मापांक

V = ब्लॉक का आयतन = BC × CD × इकाई गहराई

आरेख में इकाई गहराई को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

\({{U}} = \frac{1}{2}\times{\rm{P}} \times {\rm{CD}} \times \phi {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\times{\rm{\tau }} \times {\rm{BC}} \times {\rm{CD}} \times \frac{{\rm{\tau }}}{{\rm{C}}}\; = \frac{{{{\bf{\tau }}^2}}}{{2{{C}}}}\; \times {{V}}\)

गणना:

दिया गया है:

E = यंग मापांक, v = प्वासों अनुपात, समरूप और समदैशिक पदार्थ

E = 2G (1+ ν) ⇒ \(2{{G}} = \frac{{{E}}}{{1 + {{ν }}}}\)

प्रति इकाई आयतन विकृति ऊर्जा \(= \frac{{{{\bf{\tau }}^2}}}{{2G}} = \frac{{{\tau ^2}}}{E}\left( {1 + ν } \right)\)

Key Points 

यंग मापांक (E), आयतन मापांक (K) और कठोरता मापांक (G) के बीच संबंध:

E = 2G (1 + ν)

E = 3K (1 - 2ν)

\(E = \frac {9KG}{3K + G}\)