Principal Stress or Strain MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Principal Stress or Strain - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सिद्धांत:

\( \theta \) कोण पर झुके हुए तल पर अभिलम्ब प्रतिबल की गणना करने के लिए, प्रतिबल रूपांतरण समीकरण का उपयोग करें:

\( \sigma_n = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta \)

दिया गया है:

\( \sigma_x = 100~\text{N/mm}^2, \quad \sigma_y = 50~\text{N/mm}^2, \quad \tau_{xy} = 30~\text{N/mm}^2, \quad \theta = 45^\circ \)

गणना:

\( \cos 2\theta = \cos 90^\circ = 0, \quad \sin 2\theta = \sin 90^\circ = 1 \)

\( \sigma_n = \frac{100 + 50}{2} + \frac{100 - 50}{2} \cdot 0 + 30 \cdot 1 \)

\( \sigma_n = 75 + 0 + 30 = 105~\text{N/mm}^2 \)

व्याख्या:

अधिकतम तिरछापन के लिए तल का झुकाव निर्धारित करना:

जब किसी पदार्थ के टुकड़े पर दो लंबवत तनन प्रतिबल, σ_x और σ_y, लगाए जाते हैं, तो उस तल का झुकाव जिस पर परिणामी प्रतिबल (R) अभिलम्ब के साथ अधिकतम तिरछापन (φ) रखता है, सामग्री यांत्रिकी में प्रतिबल रूपांतरण के सिद्धांतों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

इस समस्या में, हमें दिया गया है:

• σ_x = 100 MPa
• σ_y = 60 MPa

परिणामी प्रतिबल का अधिकतम तिरछापन तब होता है जब तल पर अपरूपण प्रतिबल (τ) अधिकतम होता है। यह आमतौर पर एक कोण θ पर होता है जहाँ तल इस प्रकार उन्मुख होता है कि अभिलम्ब प्रतिबल अपरूपण प्रतिबल द्वारा संतुलित होता है। मोहर के प्रतिबल वृत्त का उपयोग करके, तल का झुकाव θ पाया जा सकता है।

उस तल के झुकाव θ का सूत्र जिस पर परिणामी प्रतिबल R अभिलम्ब के साथ अधिकतम तिरछापन φ रखता है, निम्न द्वारा दिया गया है:

θ = tan^-1 (τ / σ)

यहाँ, τ तल पर अपरूपण प्रतिबल है और σ तल पर अभिलम्ब प्रतिबल है। दी गई समस्या के लिए, हमें अभिलम्ब और अपरूपण प्रतिबलों के बीच संबंध पर विचार करके θ के लिए सही व्यंजक प्राप्त करने की आवश्यकता है।

मोहर के वृत्त के सिद्धांत से, उस तल के झुकाव θ जिस पर परिणामी प्रतिबल का अधिकतम तिरछापन होता है, को इस प्रकार व्युत्पन्न किया जा सकता है:

θ = tan^-1 (σ_x / σ_y)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

θ = tan^-1 (100 / 60)

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( \theta=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}\)

इसलिए, उस तल का सही झुकाव θ जिस पर परिणामी प्रतिबल का अधिकतम तिरछापन होता है, है:

\( \theta=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}\)

संकल्पना:

दिया है:

वृत्ताकार शाफ्ट केवल मरोड़ आघूर्ण के अधीन होता है जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 90MPa होता है।

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है:

\({τ _{max}} = \;\frac{{16T}}{{\pi {d^3}}}\)

∴ यह शुद्ध अपरूपण की स्थिति है। और शुद्ध अपरूपण के लिए मोहर वृत्त निम्न द्वारा दर्शाया गया है:

• यहां, संपीडक प्रतिबल अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के बराबर होगा।
• शुद्ध अपरूपण की स्थिति में, τ_xy = τ और σ_x = σ_y = 0

σ₁ = τ , σ2 = -τ

मोहर वृत्त का केंद्र= 0

त्रिज्या = \(\frac{{{\sigma _1} - {\sigma _2}}}{2}\) = \(\frac{{\tau - \left( { - \tau } \right)}}{2} = \;\tau \)

इसलिए, सामग्री में अधिकतम संपीडक प्रतिबल 90MPa है।

अवधारणा:

मोहर का वृत्त एक प्रतिबलित निकाय में एक बिंदु पर किसी भी आनत समतल पर लागू लंबवत और अपरूपण प्रतिबलों के बीच संबंधों को निर्धारित करने में बहुत उपयोगी है। यह अधिकतम और न्यूनतम प्रमुख प्रतिबल, अधिकतम अपरूपण प्रतिबल आदि ज्ञात करने में सहायक है।

गणना:

चूँकि द्रव तत्व द्रवस्थैतिक भरण ( \(\sigma_1=\sigma_2=p\) के अधीन होगा, जब सभी प्रमुख प्रतिबल समान और संपीड़ित होंगे।

मोहर वृत्त σ-अक्ष पर एक बिंदु में समाप्त हो जाएगा।

∴ मोहर वृत्त की त्रिज्या = 0 इकाई

प्रतिबल का 2D द्रवस्थैतिक अवस्था के लिए:

• सभी तल समान लम्बवत प्रतिबल महसूस करते हैं।
• किसी भी तल पर कोई अपरूपण प्रतिबल नहीं है

स्पष्टीकरण:

प्रमुख समतल​:

वे समतल जिन पर लम्बवत प्रतिबल अकेले कार्य करते हैं (यानी कोई अपरूपण प्रतिबल नहीं है) को मुख्य समतल कहा जाता है।

प्रमुख प्रतिबल:

पारस्परिक रूप से लंबवत प्रमुख प्रतिबल पर कार्य करने वाला लम्बवत प्रतिबल, जिस पर अपरूपण प्रतिबल शून्य होता है, प्रमुख प्रतिबल कहलाता है।

लम्बवत प्रतिबलों के अधिकतम मान को दीर्घ प्रमुख समतल और न्यूनतम मान को लघु प्रमुख समतल कहा जाता है।

प्रमुख समतल एक-दूसरे के लंबवत होते हैं और उनकी गणना इस प्रकार की जा सकती है,

\(\tan 2θ = \frac{{2{τ _{xy}}}}{{{σ _x} - {σ _y}}}\)

जहाँ, τxy = अपरूपण प्रतिबल, σx = x- दिशा में लंबवत प्रतिबल, σy = y- दिशा में लंबवत प्रतिबल

θ2 = θ3 = θ + 90°  (θ, θ2, θ3 प्रमुख समतल के स्थान)

अवधारणा:

मुख्य प्रतिबल और अपरूपण प्रतिबल की गणना निकाय पर कार्य करने वाले प्रतिबलों की एक प्रणाली के लिए निम्न प्रकार की जा सकती है -

\(σ_n=(\frac{σ_x\;+\;σ_y}{2})\;+\;(\frac{σ_x\;-\;σ_y}{2})cos\;2\theta\;+\;τ_{xy}sin\;2\theta\)

\(\tau_n=-(\frac{σ_x\;-\;σ_y}{2})sin\;2\theta\;+\;\tau_{xy}cos\;2\theta\)

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल का समतल प्रमुख समतलों के लिए 45° पर होता है।

∴ अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के समतल पर सामान्य प्रतिबल है -

\(∴ {\left( {{σ _n}} \right)_{{\tau _{max}}}} = \frac{{{σ _x}\; + \;{σ _y}}}{2}\)

गणना:

दिया हुआ:

σx = 100 MPa, σy = - 50 MPa।

\({\left( {{σ _n}} \right)_{{\tau _{max}}}} = \frac{{{σ _x} \;+ \;{σ _y}}}{2}\)

\(\Rightarrow {\left( {{σ _n}} \right)_{{\tau _{max}}}} = \frac{{{100} \;+ \;(-50)\;}}{2}\)

∴ σn = 25 MPa

व्याख्या:

दो परस्पर लंबवत तलों में अपरूपण प्रतिबल घूर्णी संतुलन बनाए रखने के लिए परिमाण में बराबर होते हैं लेकिन एक ही दिशा में नहीं।

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

ABCD आयताकार तत्व है मान लीजिए τ1 और τ2 अपरूपण प्रतिबल क्रमशः समतल DC और BC पर कार्य करते हैं।

आइए इस तत्व की इकाई लंबाई पर विचार करें।

ABCD के घूर्णी संतुलन में होने के लिए

∑MA = 0 ⇒ (τ1 b) (a) + (τ2 a) (b) = 0

τ1 (ab) = τ2 (ab)

τ1  = τ2

वह तल जिसपर लंबवत प्रतिबल उसका अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करता है उसे प्रमुख तल कहा जाता है। प्रमुख तल पर अपरुपण प्रतिबल शून्य होता है।

अधिकतम और न्यूनतम प्रतिबल के तल एक दूसरे से 90° के कोण पर स्थित होते हैं।

अधिकतम प्रतिबल के तल प्रमुख तल के 45° पर प्राप्त होते हैं।

अवधारणा:
शुद्ध कतरनी की स्थिति के लिए, तल पर लम्बवत तनाव शून्य के बराबर होना चाहिए।
इसके अलावा, प्रमुख तनाव कतरनी तनाव के बराबर होगा।

एक अक्षीय तनाव: तन्य तनाव केवल एक अक्ष के अनुरूप कार्य करता है।

मोहर का वृत :

समान परिमाण का द्विअक्षीय तनाव: 

मोहर का वृत : यह लम्बवत तनाव अक्ष पर एक बिंदु है।

जलस्थैतिक तनाव :

मोहर का वृत: यह लम्बवत तनाव अक्ष पर एक बिंदु है।

Mistake Pointsसमान परिमाण और जलस्थैतिक तनाव के द्वि अक्षीय तनाव के लिए मोहर का वृत σ-अक्ष पर एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन जलस्थैतिक तनाव के मामले में, बिंदु ऋणात्मक पार्श्व पर है और द्विअक्षीय तनाव पर बिंदु मोहर के वृत के धनात्मक पार्श्व पर है

अवधारणा:

प्रमुख प्रतिबल​:

प्रमुख प्रतिबल एक समतल (जब एक कोण के माध्यम से घुमाया जाता है) पर सामान्य प्रतिबल का अधिकतम और न्यूनतम मान होता है जिस पर कोई अपरूपण प्रतिबल नहीं होता है।

प्रमुख समतल​:

यह वह समतल है जिस पर प्रधान प्रतिबल कार्य करता है और अपरूपण प्रतिबल शून्य होता है।

प्रमुख कोण:

मूल अक्ष के सापेक्ष मुख्य तल का अभिविन्यास मुख्य कोण होता है।

किसी भी कोण पर सामान्य प्रतिबल की गणना इस प्रकार की जाती है

\(σ _n{}= \dfrac{σ _{x}+σ _{y}}{2}+\dfrac{σ _{x}-σ _{y}}{2}\cos 2θ\)

जहाँ σn = झुकाव θ पर सामान्य प्रतिबल, σx = x-दिशा में प्रमुख प्रतिबल,σy = Y दिशा में प्रमुख प्रतिबल,
θ = x अक्ष पर सामान्य प्रतिबल के झुकाव का कोण

गणना:

दिया हुआ है कि:

σx = σy = 500 N/mm2, θ = 45° , 

\(σ _n{}= \dfrac{σ _{x}+σ _{y}}{2}+\dfrac{σ _{x}-σ _{y}}{2}\cos 2θ\)

σn \(= \dfrac{500+500}{2}+\dfrac{500-500}{2}\cos 90\)

σn = 500 N/mm2

∴ 45° के कोण पर सामान्य प्रतिबल का मान 500 N/mm² है

संकल्पना:

वर्ग खण्ड में अधिकतम अनुमत अपरुपण (τ_max) = (σ sin 2θ)/2

जहाँ σ अधिकतम तनन प्रतिबल

माना कि,

P = अधिकतम तनन बल,

A = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 

∴ σ = P/A

गणना:

दिया गया है,

P, A, θ 

σ = P/A

τmax = ((P/A) sin 2θ)/2 = (P/2A) sin 2θ

संकल्पना:

अधिकतम लम्बवत प्रतिबल , \({σ _{n,max}} = \frac{{σ_1 + σ_3 }}{2}\)

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल, \({\tau _{max}} = \frac{{σ_1 - σ_3 }}{2}\)

जहाँ, σ1 = दीर्घ प्रमुख प्रतिबल और σ3 = लघु प्रमुख प्रतिबल

गणना:

दिया गया,

दीर्घ प्रमुख प्रतिबल  (σ1) = 150 kN/m2 

लघु प्रमुख प्रतिबल (σ2) = -50 kN/m2

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है,\({\tau _{max}} = \frac{{σ_1 - σ_3 }}{2}\)

⇒ \({\tau _{max}} = \frac{{150 \ + \ 50 }}{2} = 100\ kN/m^2\)

अवधारणा:

लम्बवत प्रतिबलों का अधिकतम और न्यूनतम मान शून्य अपरूपण प्रतिबल की सतह पर होता है। अधिकतम और न्यूनतम लम्बवत प्रतिबल मुख्य प्रतिबल कहलाता है, और वह सतह जिसपर वे लागू होते हैं, मुख्य तल कहलाता है।

\({\sigma _{max,\;min}} = \frac{{{\sigma _{xx}} + {\sigma _{yy}}}}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{\sigma _{xx}} - {\sigma _{yy}}}}{2}} \right)}^2} + \tau _{xy}^2} \)

लेकिन अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तल में लम्बवत प्रतिबल हो भी सकते हैं या नहीं भी, क्योंकि स्थितियाँ निम्न हो सकती हैं।

\({\tau _{max}} = \frac{{{\sigma _{max}} - {\sigma _{min}}}}{2} = \sqrt {{{\left( {\frac{{{\sigma _{xx}} - {\sigma _{yy}}}}{2}} \right)}^2} + \tau _{xy}^2} \)

संकल्पना:

अधिकतम और न्यूनतम सामान्य प्रतिबल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\({\sigma _{max,\;\;min}} = \frac{{{\sigma _x} + {\sigma _y}}}{2}\; \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{\sigma _x}\; - \;{\sigma _y}}}{2}} \right)}^2} + \tau _{xy}^2} \)

जहाँ, σ_x और σ_y प्रत्यक्ष प्रतिबल हैं और τ_xy अपरूपण प्रतिबल है। 

गणना:

दिया गया है, प्रत्यक्ष प्रतिबल σ_x = 300 MPa, τ_xy = 200 MPa

अब अधिकतम सामान्य प्रतिबल 

\({\sigma _{max}} = \frac{{{\sigma _x} + {\sigma _y}}}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{{{\sigma _x}\; - \;{\sigma _y}}}{2}} \right)}^2} + \tau _{xy}^2} \)

\({\sigma _{max}} = \frac{{300}}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{{300}}{2}} \right)}^2} + {{200}^2}} = 400\;MPa\)