బీజగణితం MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Algebra - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెలను కనుగొనడానికి మనం అన్ని సంఖ్యలను గుణించాల్సిన అవసరం లేదు, ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెలను మాత్రమే గుణించాలి

సాధన:

మనకు ఇచ్చిన సంఖ్య (567 × 123 × 964 + 675)

⇒ 7 × 3 × 4 + 5

⇒ 84 + 5

⇒ 89

∴ ఇవ్వబడిన సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 9

అసలు సంఖ్యను XYగా సూచిస్తాం, ఇక్కడ X అనేది పదుల అంకెలు మరియు Y అనేది యూనిట్ల అంకె.

సమస్య నుండి, మనకు రెండు విషయాలు తెలుసు:

1) సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తానికి 7 రెట్లు. దీని అర్థం 10X + Y = 7(X + Y), లేదా 3X = 6Y, లేదా X = 2Y.

2) అంకెలను రివర్స్ చేయడం ద్వారా పొందిన సంఖ్య అసలు సంఖ్య కంటే 18 తక్కువ. దీని అర్థం 10X + Y - 18 = 10Y + X, లేదా 9X - 9Y = 18, లేదా X - Y = 2.

ఈ రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

X = 2Y
⇒ X - Y = 2

మనము X ని మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపణ చేస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:

⇒ 2Y - Y = 2
⇒ Y = 2

మొదటి సమీకరణంలో Y = 2ని ప్రతిక్షేపణ చేయండి, మనకు లభిస్తుంది:

X = 2 × 2 = 4

∴ అసలు సంఖ్య 42.

గణన:

a = 0 మరియు b = 1 అనుకుందాం

\(y=\frac{a+b}{4}+\frac{a b}{a+b}\)

⇒ \(x=0+1+\frac{(0-1)^2}{0+4 \times1}\)

⇒ \(x=\frac{5}{4}\)

మళ్ళీ,

\((\frac{25}{16})-(\frac{9}{16}) =\frac{25-9}{16} = 1\)

⇒ \(y=\frac{0+1}{4}+0\)

⇒ \(y=\frac{1}{4}\)

ఇప్పుడు,

(x - a)2 - (y - b)2 = \((\frac{5}{4}-0)^2 - (\frac{1}{4}-1)^2\)

⇒ \((\frac{25}{16})-(\frac{9}{16}) =\frac{25-9}{16} = 1\)

అలాగే, b2 = (1)2 = 1

∴ అవసరమైన విలువ b2.

గణన:

తోటలోని మొత్తం చెట్ల సంఖ్య = LCM (5, 2) = 10 యూనిట్ అని అనుకుందాం

కాబట్టి, మామిడి చెట్ల సంఖ్య = 10 × 1/5 = 2 యూనిట్

అశోక వృక్షాల సంఖ్య = 10 × 1/2 = 5 యూనిట్

కాబట్టి, వేప చెట్ల సంఖ్య = 10 - (5 + 2) = 3 యూనిట్

ఇప్పుడు ప్రశ్న ప్రకారం..

3 యూనిట్ → 12

అప్పుడు, మామిడి చెట్లు 2 యూనిట్ → 12/3 × 2 = 8

∴ సరైన సమాధానం 8

సూత్రం -

f(x) = ax2 + bx + c అనే బహుపదికి α మరియు β మూలాలు అయితే

మూలాల మొత్తం = -b/a

మూలాల లబ్ధం = c/a

వివరణ -

ఇప్పుడు మనకు -

f(x) = x2 + x + 1 అనే బహుపదికి α మరియు β మూలాలు అయితే

అప్పుడు α + β = -1 .....(i)

మరియు α.β = 1...... (ii)

ఇప్పుడు మనం \(\rm \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) విలువను కనుగొనాలి

= \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha.\beta}\)

ఇప్పుడు సమీకరణం (i) మరియు (ii) విలువలను ఉంచండి -

= -1/1 = -1

కాబట్టి ఎంపిక (3) సరైనది.

ఇచ్చినది:

x - 1/x = 3

ఉపయోగించిన భావన:

a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)

గణన:

గుర్తింపును వర్తింపజేయడం:

⇒ x3 - (1/x)3 = (x - 1/x)3 + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x3 - (1/x)3 = (3)3 + 3(1)(3)

⇒ x3 - (1/x)3 = 27 + 9

⇒ x3 - (1/x)3 = 36

∴ x³ - (1/x)³ యొక్క విలువ 36.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

x = √10 + 3

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

సాధన:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴అవసరమైన విలువ 234

ఇచ్చినది:

p – 1/p = √7

ఫార్ములా:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

లెక్కింపు:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

చిన్న ఉపాయం

x - 1/x = a, అప్పుడు x³ - 1/x³ = a³ + 3a

ఇక్కడ, a = √5

ఇక్కడ,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.

ఇవ్వబడినది:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 మరియు abc = 15

ఉపయోగించవలసిన కాన్సెప్ట్:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

గణన:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 లేదా x = 1

ఇచ్చినవి:

3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2

⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

ఒక వర్గ సమీకరణం (ax 2 + bx + c=0) సమాన మూలాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు వివక్షత సున్నాగా ఉండాలి అంటే b 2 – 4ac = 0

లెక్కింపు:

⇒ D = B2 – 4AC = 0

⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a2 + 20a – 44 = 0

⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

a + b + c = 0 అయితే, అప్పుడు (a³ + b³ + c³) = 3abc,

∴ (a³ + b³ + c³)² = 9a²b²c²

ఇచ్చినది

2x5 + 2x3 y3 + 4y4  + 5.

భావం

బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం.

పరిష్కారం

2x5 లో బహుపది డిగ్రీ = 5 

2x3 y3 లో బహుపది డిగ్రీ = 3 + 3 = 6 

4y4 లో బహుపది డిగ్రీ = 4 

5 లో బహుపది డిగ్రీ = 0 

అందువల్ల, అత్యధిక డిగ్రీ 6.

బహుపది డిగ్రీ = 6

x5 కారణంగా ఒకరు 5ను సరైన ఎంపికగా ఎంచుకోవచ్చు కాని 2x3y3 అత్యధిక ఘాతం 6 కలిగి ఉన్నందున సరైన సమాధానం 6 అవుతుంది.

బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం. ఇక్కడ ఒక నిర్దిష్ట విలువ కోసం x అనేది y కి సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

బహుపది యొక్క డిగ్రీ 6 ఉంటుంది

నా ప్రస్తుత వయస్సు = x సంవత్సరాలు మరియు నా కజిన్ వయస్సు = y సంవత్సరాలు.

నా ప్రస్తుత వయస్సులో 3/5 వంతులు నా కజిన్స్‌లో ఒకరి వయస్సులో 5/6 వంతులకు సమానం,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

పదేళ్ల క్రితం నా వయస్సు నాలుగు సంవత్సరాల తరువాత అతని వయస్సు అవుతుంది

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

∴ x = 50 సంవత్సరాలు

α మరియు β  x2 – x – 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాబట్టి, అపుడు

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

ఇప్పుడు, (α / β) మరియు (β / α) మూలాలు అయితే,

⇒ మూలాల మొత్తం = (α/β) + (β/α) = (α2 + β2)/αβ = {(α + β)2 – 2αβ}/αβ = {(1)2 – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ మూలాల లబ్దం = (α/β) × (β/α) = 1

ఇప్పుడు, అప్పుడు సమీకరణం,

⇒ x2 – (మూలాల మొత్తం)x + మూలాల లబ్దం = 0

⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0