त्रिज्या R के किसी बेलनाकार चालक से कोई नियत धारा प्रवाहित हो रही है। चुम्बकीय क्षेत्र, B के परिमाण तथा चालक के केन्द्र से दूरी, d के बीच ग्राफ का सही निरूपण निम्नलिखित में से किस आरेख द्वारा किया गया है?

अवधारणा:

एम्पीयर परिपथीय नियम- एम्पीयर परिपथ नियम के अनुसार, चालक द्वारा उत्पन्न धारा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच संबंध होता है। इसमें बताया गया है कि काल्पनिक निकट पथ वाले चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता की रेखा समाकलन पथ और माध्यम की पारगम्यता से घिरी धारा के गुणनफल के बराबर होता है और इसे निम्न प्रकार लिखा जाता है;

\(\oint {\vec B.d\vec l = {\mu _o}I} \)

यहाँ , B चुंबकीय क्षेत्र, \(\mu_o\) पारगम्यता और 'I' धारा है 

गणना:

जैसा कि हम समीकरण (1) से जानते हैं, हमारे पास है;

\(\oint {\vec B.d\vec l = {\mu _o}I} \)     -----(1)

अब, आइए R त्रिज्या वाले एक बेलन पर विचार करें जिसमें धारा 'I' प्रवाहित हो।

दूरी d वाले चुंबकीय क्षेत्र का आलेख प्राप्त करने के लिए आइए तीन स्थितियाँ लें।

स्थिति 1- त्रिज्या 'd' के एक काल्पनिक लूप पर विचार करें। (d < R) चालक के अंदर चुंबकीय क्षेत्र।

\(dI'=\frac{I}{\pi R^2}\times \pi d^2\)

अब, dI' का मान समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है;

\(\oint {\vec B_{inside}.d\vec l = {\mu _o}\frac{I}{\pi R^2}\times \pi d^2} \)

बेलन के लिए, हमारे पास है;

\(B_{inside}(2\pi d)={ {\mu _o}\frac{I}{\pi R^2}\times \pi d^2} \)

⇒ \(B_{inside} = \frac{{{\mu _0}\,i}}{{2\pi {R^2}}}d\)

अतः, सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है

स्थिति 2- सतह (d = R) पर

अब समीकरण (1) के प्रयोग से हमारे पास है;

\(\oint {\vec B.d\vec l = {\mu _o}I} \)

\(B(2\pi d)={ {\mu _o}\frac{I}{\pi R^2}\times \pi d^2} \)

\(B= \frac{{{\mu _0}\,i}}{{2\pi \,R}}\)      ----(3)

यह पृष्ठ पर अधिकतम है।

स्थिति 3 - पृष्ठ के बाहर(d > R). समीकरण (1) के प्रयोग से हमारे पास है;

\(\oint {\vec B_{outside}.d\vec l = {\mu _o}I} \)

⇒ \(B_{outside} = \frac{{{\mu _0}\,i}}{{2\pi \,d}}\)

या, Boutside ∝ \(\frac{1}{d}\)  (अतिपरवलिक)    ----(4) 

इसलिए स्थितियों को जोड़ने से, हमारे पास चुंबकीय क्षेत्र B और दूरी d वाले परिमाण का एक आरेख निम्न है, 

अत:, विकल्प 3) सही उत्तर है।