ప్రస్తారాలు మరియు సంయోగాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Permutation and Combination - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

7 మంది పురుషులు మరియు 6 మంది స్త్రీల సమూహం నుండి, కనీసం 3 మంది పురుషులు కమిటీలో ఉండే విధంగా ఐదుగురు వ్యక్తులను ఎంచుకోవాలి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సంయోగాలు: \(^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

గణన:

కనీసం 3 మంది పురుషులతో కూడిన కమిటీని ఏర్పాటు చేయడానికి, మనకు ఈ క్రింది సందర్భాలు ఉన్నాయి:

సందర్భం 1: 3 మంది పురుషులు మరియు 2 మంది స్త్రీలు

⇒ \(^7C_3 \times ^6C_2\)

⇒ \(\dfrac{7!}{3!(7-3)!} \times \dfrac{6!}{2!(6-2)!}\)

⇒ \(\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1}\)

⇒ 35 x 15 = 525

సందర్భం 2: 4 మంది పురుషులు మరియు 1 మహిళ

⇒ \(^7C_4 \times ^6C_1\)

⇒ \(\dfrac{7!}{4!(7-4)!} \times \dfrac{6!}{1!(6-1)!}\)

⇒ \(\dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 6\)

⇒ 35 x 6 = 210

సందర్భం 3: 5 మంది పురుషులు మరియు 0 మంది స్త్రీలు

⇒ \(^7C_5 \times ^6C_0\)

⇒ \(\dfrac{7!}{5!(7-5)!} \times 1\)

⇒ \(\dfrac{7 \times 6}{2 \times 1}\)

⇒ 21

మొత్తం మార్గాల సంఖ్య = 525 + 210 + 21

⇒ 756

∴ సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

జట్టులో, ఒక వ్యక్తి, ఇద్దరు పురుషులు లేదా ముగ్గురు పురుషులు ఉండవచ్చు.

ఒక పురుషుడు మరియు ఇద్దరు స్త్రీలను ఎన్నుకునే మార్గాల సంఖ్య = 4C1 × 3C2 = 4 × 3 = 12

ఇద్దరు పురుషులు మరియు ఒక స్త్రీని ఎన్నుకునే మార్గాల సంఖ్య = 4C2 × 3C1 = 6 × 3 = 18

ముగ్గురు పురుషులను ఎన్నుకునే మార్గాల సంఖ్య = 4C3 = 4

మొత్తం మార్గాల సంఖ్య = 12 + 18 + 4 = 34

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి:

జట్టులో కనీసం ఒక వ్యక్తిని ఎన్నుకునే మార్గాల సంఖ్య = ఎంచుకునే మొత్తం మార్గాలు - మహిళలను మాత్రమే ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్య

⇒ 7C3 - 3C3

⇒ 35 - 1

⇒ 34

వివరణ:

సమావేశంలో మొత్తం 45 మంది ఉన్నారు, వారిలో 40 మంది ఒకరినొకరు తెలుసుకుంటారు.

కాబట్టి 5 మంది ఎవరినీ తెలుసుకోరు.

ఆ 5 మందిని A, B, C, D, E అనుకుందాం

కాబట్టి A, 44 మందితో చేతులు కలుపుతాడు.

B, 43 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

C 42 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

D, 41 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

మరియు E, 40 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

కాబట్టి మొత్తం చేతులు కలయికలు = 44 + 43 + 42 + 41 + 40 = 210

ఎంపిక (3) సరైనది

గణన:

9తో భాగించబడే 3-అంకెల సంఖ్యను తయారు చేయడానికి, ఆమె ఇప్పటికే 4, 5 లను ఎంచుకుంది

కాబట్టి, 0 నుండి 9 వరకు, మరొక అంకె 0 లేదా 9 అయి ఉండాలి

కాబట్టి, అన్ని సాధ్యమయ్యే 3-అంకెల సంఖ్యలు 540, 450, 405, 504, 495, 594, 945, 549, 459 మరియు 954

కాబట్టి, 9తో భాగించబడే అన్ని సాధ్యమయ్యే 3-అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 10

3, 5 మరియు 7 అంకెలను ఉపయోగించడం ద్వారా ఏర్పడే రెండు-అంకెల సంఖ్యలు = 3 × 3.

ఇవ్వబడినది:

ఇవ్వబడిన పదం 'GEOGRAPHY'

గణన (లెక్కింపు):

'GEOGRAPHY' అనే పదానికి 9 అక్షరాలు ఉన్నాయి. అందులో E, O, A అచ్చులు ఉన్నాయి మరియు ఈ 3 అచ్చులు ఎల్లప్పుడూ కలిసి రావాలి. అందుకే ఈ 3 అచ్చులను సమూహంగా చేసి ఒకే అక్షరంగా పరిగణించవచ్చు. అంటే, GGRPHY(EOA).

ఈ పదంలో 7 అక్షరాలు ఉండగా, ఈ 7 అక్షరాలలో 'G' 2 సార్లు వస్తుంది, మిగిలిన అక్షరాలు భిన్నంగా ఉన్నాయి.

ఇప్పుడు,

ఈ అక్షరాలను అమర్చడానికి గల మార్గాల సంఖ్య = 7!/2!

⇒ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520

3 అచ్చులలో (EOA), అన్ని అచ్చులు భిన్నంగా ఉంటాయి

ఈ అచ్చులను అమర్చడానికి గల మార్గాల సంఖ్య = 3!

⇒ 3 × 2 × 1 = 6

ఇప్పుడు,

అవసరమైన మార్గాల సంఖ్య = 2520 × 6

⇒ 15120

∴ GEOGRAPHY అనే పదంలోని అక్షరాలను అన్ని అచ్చులు ఎప్పుడూ కలిసి ఉండేలా 15120 రకాలుగా అమర్చవచ్చు.

వివరణ:

సమావేశంలో మొత్తం 45 మంది ఉన్నారు, వారిలో 40 మంది ఒకరినొకరు తెలుసుకుంటారు.

కాబట్టి 5 మంది ఎవరినీ తెలుసుకోరు.

ఆ 5 మందిని A, B, C, D, E అనుకుందాం

కాబట్టి A, 44 మందితో చేతులు కలుపుతాడు.

B, 43 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

C 42 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

D, 41 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

మరియు E, 40 మందితో చేతులు కలుపుతాడు

కాబట్టి మొత్తం చేతులు కలయికలు = 44 + 43 + 42 + 41 + 40 = 210

ఎంపిక (3) సరైనది

ఇవ్వబడింది:

(7 మంది పురుషులు + 6 మంది మహిళలు) ఒక కమిటీకి 5 మందిని ఎంపిక చేయాలి.

ఉపయోగించవలసిన సూత్రం:

ⁿ C _r = n!/(n - r)! r!

లెక్కింపు:

కనీసం 3 మంది పురుషులు ఎంపిక చేయబడే మార్గాలు;

⇒ 3 పురుషులు + 2 మహిళలు

⇒ 4 పురుషులు + 1 స్త్రీ

⇒ 5 పురుషులు + 0 స్త్రీ

మార్గాల సంఖ్య = ⁷ C ₃ × ⁶ C ₂ + ⁷ C ₄ × ⁶ C ₁ + ⁷ C ₅ × ⁶ C ₀

⇒ 7!/(3! × 4!) × 6!/(2! × 4!) + 7!/(4! × 3!) × 6!/(1! × 5!) + 7!/(5 !× 2!) × 6!/(6!× 0!)

⇒ 35 × 15 + 35 × 6 + 21

⇒ 735 + 21 = 756

∴ అవసరమైన మార్గాల సంఖ్య = 756.

ముఖ్యమైన పాయింట్లు 0! విలువ 1.

448 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 7

⇒ 448 = 2⁶ x 7¹

∴ విద్యార్థుల మధ్య సమానంగా పంచగల మొబైల్ ఫోన్ల సంఖ్య = (6 + 1) x (1 + 1) = 7 x 2 = 14

ఇచ్చినవి 

'FIGHT' అనే పదంలోని మొత్తం వర్ణమాలలు = 5

ఉపయోగించబడిన కాన్సెప్ట్

అమరిక యొక్క మొత్తం సంఖ్య మార్గాలు = n!

లెక్కింపు

n వేర్వేరు పదాల అమరిక యొక్క వివిధ మార్గాల సంఖ్య (పునరావృతం లేకుండా) = 5!

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ అవసరమైన సమాధానం 120

ఇచ్చిన సమాచారం:

5, 6, 7, 8, 9 అంకెలు 3 అంకెల సంఖ్యను తయారుచేయడానికి ఇచ్చిన అంకెలు 

లెక్కింపు:

3 అంకెలు సంఖ్యను  H T U(వందలు, పదులు, యూనిట్ అంకె)గా వరసగా తీసుకుందాం 

3 అంకెల సంఖ్యను బేసి సంఖ్యగా చెయ్యాలంటే 

5, 7, 9 అంకెలు మాత్రమే యూనిట్ అంకె చోట వాడటానికి అవుతాయి 

వందలు మరియు పదుల చోటులో మొత్తం అయిదు అంకెలు వాడడం అవుతాయి 

యూనిట్ అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 3

పదుల అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 5

వందల అంకెకు ఉన్న మార్గాలు = 5

3 అంకెల బేసి అంకెకు మార్గాలు = 3 × 5 × 5 = 75 

∴ 75 మూడు అంకెల బేసి సంఖ్యలను 5, 6, 7, 8, 9 అంకెలను పునరావృత్తం చేస్తూ తయారుచెయ్యవచ్చు.

ఇవ్వబడింది:

5 సంఖ్యలకు 2, 5, 6, 7 మరియు 8 ఇవ్వబడ్డాయి

పునరావృతం లేకుండా నాలుగు అంకెల సంఖ్య

ఉపయోగించిన సూత్రం:

పునరావృతం కానపుడు ప్రస్తారం = \(\frac{n!}{(n \ - \ r)!}\)

ఇక్కడ n = మొత్తం సాధ్యమయ్యే సంఖ్యలు

r = అవసరమైన సంఖ్య

గణన:

ఇక్కడ మొత్తం సాధ్యం అయ్యే సంఖ్య n = 5

మరియు అవసరమైన సంఖ్య r = 4

సూత్రాన్ని వర్తింపచేయగా

\(\frac{5!}{(5\ - \ 4)!}\)

⇒ 5!

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ 120 సాధ్యమయ్యే నాలుగు అంకెల సంఖ్య ఉంటుంది.

ఇవ్వబడినది:

నాలుగు కుర్చీలలో 10 మంది వ్యక్తుల అమరికల మార్గాలు

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ⁿ P _r = n!/(n – r)!

n = వ్యక్తుల సంఖ్య

r = కుర్చీల సంఖ్య

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం

n P r = n!/(n – r)!

⇒ 10!/(10 - 4)!

⇒ 10!/6!

⇒ (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

⇒ (10 × 9 × 8 × 7)

⇒ 5040

∴ అవసరమైన విలువ 5040

మనకు తెలిసినట్లుగా,

594 = 2 x 3 x 3 x 3 x 11

⇒ 594 = 21 × 33 × 111