త్రికోణమితి MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Trigonometry - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గోపురం ఎత్తు \( CD = 25\sqrt{3} \, \text{మీ} \). \( D \) నుండి \( A \) మరియు \( B \) లకున్న నిమ్నకోణాలు వరుసగా \( 30^\circ \) మరియు \( 60^\circ \). త్రికోణమితిని ఉపయోగించి:

\[ CA = \frac{CD}{\tan(30^\circ)} = \frac{25\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 75 \, \text{మీ} \]

\[ CB = \frac{CD}{\tan(60^\circ)} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 \, \text{మీ} \]

\( A \) మరియు \( B \) ల మధ్య దూరం:

\[ AB = CA - CB = 75 - 25 = 50 \, \text{మీ} \]

కాబట్టి, \( A \) మరియు \( B \) ల మధ్య దూరం:

\[ \boxed{50} \]

ఈ సమాసాన్ని సరళీకరించడానికి:

\[ \frac{5}{1+\cot^2 \theta} + \frac{4}{1+\tan^2 \theta} + \cos^2 \theta \]

మనం త్రికోణమితి గుర్తింపులను ఉపయోగిస్తాము.

1. \(\frac{5}{1+\cot^2 \theta}\) ను సరళీకరించండి: \(1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\) అని గుర్తుంచుకోండి. కాబట్టి: \[ \frac{5}{1+\cot^2 \theta} = 5 \sin^2 \theta \]

2. \(\frac{4}{1+\tan^2 \theta}\) ను సరళీకరించండి: \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\) అని గుర్తుంచుకోండి. కాబట్టి: \[ \frac{4}{1+\tan^2 \theta} = 4 \cos^2 \theta \]

3. పదాలను కలపండి: \[ 5 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 5 \sin^2 \theta + 5 \cos^2 \theta \]

4. ఉమ్మడి పదాన్ని కారకంగా తీసుకోండి: \[ 5 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \]

5. పైథాగోరియన్ గుర్తింపు \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) ను ఉపయోగించండి: \[ 5 \times 1 = 5 \]

కాబట్టి, సరళీకృత సమాసం:

\[ \boxed{5} \]

దత్తాంశం \( \cot \theta = \frac{5}{12} \), కాబట్టి, లంబకోణ త్రిభుజం ద్వారా \( \cos \theta \) మరియు \( \sin \theta \) లను తెలుసుకోవచ్చు. ఆసన్న భుజం 5 మరియు ఎదుటి భుజం 12 అనుకుందాం. కర్ణం \( h \):

\[ h = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

కాబట్టి:

\[ \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{5}{13} \]

\[ \sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{12}{13} \]

ఇప్పుడు, \( \frac{1 + \cos \theta}{1 - \sin \theta} \) విలువను గణించండి:

\[ \frac{1 + \cos \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{1 + \frac{5}{13}}{1 - \frac{12}{13}} = \frac{\frac{18}{13}}{\frac{1}{13}} = 18 \]

కాబట్టి, విలువ:

\[ \boxed{18} \]

ఇవ్వబడింది:

\(\rm \frac{1}{cosec^2\theta-cot^2\theta} + \frac{1}{sec^2 - tan^2\theta}\) = 2sinθ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(cosec^2\theta - \cot^2\theta = 1\)

\(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\)

గణన:

\(\dfrac{1}{cosec^2\theta - \cot^2\theta} + \dfrac{1}{\sec^2\theta - \tan^2\theta} = 2\sin\theta\)

⇒ \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\sin\theta\)

⇒ 1 + 1 = \(2\sin\theta\)

⇒ \(2 = 2\sin\theta\)

⇒ \(\sin\theta = 1\)

⇒ \(\theta = 90^\circ\)

కాబట్టి, సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

ఇచ్చినవి:

\(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\) విలువ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(\cot A = \dfrac{1}{\tan A}\)

గణన:

ఇచ్చిన సమాసము: \(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(1+\cot^2A)}{25(1+\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(cosec^2A)}{25(\sec^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{2(\dfrac{1}{\sin^2A})}{(\dfrac{1}{\cos^2A})}\)

⇒ \(\dfrac{2\cos^2A}{\sin^2A}\)

⇒ 2 cot2 A

కాబట్టి, సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది : 

BC = 18 మీటర్లు

భావం : 

ఉపయోగించిన సూత్రం : 

Tanθ = లంబం/ఆధారం

Cosθ = ఆధారము/కర్ణము 

లెక్కింపు : 

చెట్టు యొక్క ఎత్తు = AB + AC 

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

అందువల్ల, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54/√3

⇒ 54/√3 × √3 /√3  (హారం నుంచి వర్గం తొలగించడానికి అకరణీయం చేయగా)

⇒ 54√3 / 3 = 18√3

∴ చెట్టు యొక్క ఎత్తు = 18√3.

తప్పు : ఇక్కడ, చెట్టు యొక్క మొత్తం ఎత్తు (AB + AC).

పై ప్రశ్న మునుపటి సంవత్సరం ప్రశ్న NCERT 10 వ తరగతి నుండి నేరుగా తీసుకోబడింది. సరైన సమాధానం 18√3 అవుతుంది

కింది దశలను ఉపయోగించి మనం ఊర్ధ్వ కోణాన్ని కనుగొనవచ్చు:

సాధన:

దశ 1: భూమిపై ఉన్న బిందువుతో, 20√3 మీ దూరంలో ఉన్న బిందువుతో మరియు శీర్షాలుగా విమానంతో లంబ త్రిభుజాన్ని గీయండి.

భూమిపై ఉన్న రెండు పాయింట్ల మధ్య ఎత్తు వ్యత్యాసాన్ని "h"గా మరియు రెండు పాయింట్ల మధ్య సమాంతర దూరాన్ని "d"గా లేబుల్ చేయండి.

ఊర్ధ్వ కోణాన్ని కనుగొనడానికి స్పర్శ రేఖ చర్యను ఉపయోగించండి:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\).

ఊర్ధ్వ కోణం కోసం పరిష్కరించండి:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d}).\)

ఈ సందర్భంలో, h = 20 మీ మరియు d = 20√3 మీ, కాబట్టి:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

కాబట్టి ఎత్తు కోణం 30°.

ఇచ్చినవి:

tan 53° = 4/3

వాడిన ఫార్ములా:

tan(x – y) = (tanx – tany)/(1 + tanxtany)

లెక్కింపు:

మనకు తెలుసు, 8° = 53° - 45°

Tan8° = tan(53° - 45°)

⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)

⇒ tan8° = (4/3 – 1)/(1 + 4/3)

⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)

⇒ tan8° = 1/7

sec²(x) = 1 + tan²(x)ను ఉపయోగించగా

⇒ sec²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 1 + tan²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 2tan²θ = 2/3

⇒ tanθ = 1/√3

⇒ θ = 30

ఇవ్వబడింది:

tanθ + cotθ = √3

వాడిన సూత్రం:

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

a² + b² = (a + b)² - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

లెక్క:

tanθ + cotθ = √3

రెండు వైపులా ఘనం చేస్తే, మనకి వస్తుంది

(tanθ + cotθ)³ = (√3)³

⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

రెండు వైపులా వర్గం చేస్తే

(tan3θ + cot3θ)² = 0

⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ యొక్క విలువ - 2.

ఎందుకంటే, 

⇒ sec2θ = 1 + tan2θ

మన దగ్గర ఉన్నవి, 

⇒ (sec2θ)2 – sec2θ = 3

⇒ (1 + tan2θ)2 – (1 + tan2θ) = 3

⇒ (1 + tan4θ + 2tan2θ) – (1 + tan2θ) = 3

⇒ 1 + tan4θ + 2tan2θ – 1 – tan2θ = 3

⇒ tan4θ + tan2θ = 3

⇒ \(\left( {{{\cos }^2}\phi + \frac{1}{{cose{c^2}\phi }}} \right) + 17 = x\)

⇒ \(\left( {{{\cos }^2}\phi + si{n^2}\phi } \right) + 17 = 7\)

⇒ 1 + 17 = x

⇒ x² = 324

ఇచ్చినది:

ఒక మహిళ తన ఇంటి నుండి 30 మీటర్ల దూరంలో నిలబడి ఉంది. ఆమె పైనుండి ఊర్థ్వ కోణం ఇంటి పైభాగానికి 300 మరియు ఆమె పాదం నుండి ఇంటి పైభాగానికి ఊర్థ్వ కోణం 600.

లెక్కింపు:

ΔABCలో,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 మీ.

ΔAEDలో,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 m

ఇల్లు యొక్క మొత్తం ఎత్తు = 10√3 + 20√3 = 30√3

మహిళల ఎత్తు = CD = BE = 20√3

ఇల్లు మరియు మహిళల మొత్తం ఎత్తు = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ ఇల్లు మరియు మహిళల మొత్తం ఎత్తు 50√3 

ఇవ్వబడినది:

secθ - cosθ = 14 మరియు 14 secθ = x

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)

⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)

⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)

⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\)      ----(\(sec²\theta-1=tan^2\theta\))

\(\ tan²\theta=x\)

∴ x యొక్క విలువ \(tan²\theta\).

cot4θ + cot2θ = 3 = cos4x/sin4x + cos2x/sin2x

⇒  cos2x(cos2x + sin2x)/ sin4x = 3(క.సా.గు తీసుకోవడం)

⇒ cos2x/sin4x = 3 = cot2xcosec2x

∴ cosec4θ – cosec2θ = cosec2θ(cosec2θ – 1) = cosec2θcot2x = 3