Maths MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maths - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

\(P(A) = P(\frac{A}{B}) = 0.25\)

और \(P(\frac{B}{A}) = 0.5\)

I. \(P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A∩ B)}{P(A)}\)

⇒ P(A∩B) = P(A) P(B|A)

⇒ P(A∩B) = 0.25 x 0.5 = 0.125

अब

⇒ \(P(B) = \frac{P(A∩ B)}{P(A|B)}\)

⇒ \(P(B) = \frac{0.125}{0.25} = 0.5\)

अब, P(A).P(B) = 0.25 x 0.5 = 0.125 = P(A∩B)

इस प्रकार A और B स्वतंत्र हैं

II. \(P(\overline A\cup \overline B ) = 1 – P(A ∩ B)\)

= 1 - 0.125 = 0.875

III. \(P(\overline A∩ \overline B ) = 1 – P(A \cup B)\)

= 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)]

= 1 - [0.25 + 0.5 - 0.125]

= = 1 - 0.625 = 0.375

इसलिए सभी कथन I, II और III सही हैं।

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

• वराहमिहिर (505-587 ईस्वी) उज्जैन के एक प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और ज्योतिषी थे।
• उन्होंने त्रिकोणमिति, बीजगणित और खगोल विज्ञान में महत्वपूर्ण योगदान दिया।
• उनका कार्य यूनानी, रोमन और आर्यभट्ट जैसे पूर्व भारतीय विद्वानों से प्रभावित था।
• 'पंच सिद्धांतिका' क्या है?
  • 'पंच सिद्धांतिका' (पांच खगोलीय ग्रंथ) वराहमिहिर का सबसे प्रसिद्ध कार्य है।
  • यह पांच प्राचीन खगोलीय ग्रंथों का संकलन है, जिसमें भारतीय और यूनानी प्रभाव शामिल हैं।
  • इसमें त्रिकोणमितीय अवधारणाएँ और ज्या सारणियाँ शामिल हैं, जो खगोल विज्ञान में गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण थीं।
• 'पंच सिद्धांतिका' महत्वपूर्ण क्यों है?
  1. त्रिकोणमिति का विकास
     • इसने ज्या सारणियों (अंग्रेजी में 'sine' के रूप में जाना जाता है) को प्रस्तुत किया और बेहतर बनाया।
     • इसने ग्रहों की गति और ग्रहणों के लिए त्रिकोणमितीय गणनाओं को परिष्कृत किया।
  2. बाद के गणित पर प्रभाव
     • उनकी त्रिकोणमितीय अवधारणाओं को बाद में ब्रह्मगुप्त और भास्कर द्वितीय द्वारा विस्तारित किया गया।
     • उनकी रचना ने भारतीय और हेलेनिस्टिक गणितीय परंपराओं को जोड़ा, जिससे बाद के इस्लामी और यूरोपीय खगोलविदों पर प्रभाव पड़ा।
  3. खगोलीय योगदान
     • उन्होंने भारतीय और यूनानी दोनों स्रोतों के आधार पर ग्रहों की गति के मॉडल में सुधार किया।
     • उन्होंने आर्यभट्ट की ग्रहों की गणनाओं को सही किया, जिससे उनकी सटीकता में सुधार हुआ।
• निष्कर्ष:
  • वराहमिहिर की 'पंच सिद्धांतिका' भारतीय खगोल विज्ञान और त्रिकोणमिति में एक मौलिक ग्रंथ है।
  • उनकी रचना ने ज्या फलनों की नींव रखी, जिसने बाद में आधुनिक त्रिकोणमिति को प्रभावित किया।

व्याख्या:

• भारती कृष्ण तीर्थ:
  • भारती कृष्ण तीर्थ (1884-1960) एक भारतीय गणितज्ञ और आध्यात्मिक नेता थे।
  • वे वेद गणित के पुनर्निर्माण के लिए प्रसिद्ध हैं, जो 16 सूत्रों और 15 उपसूत्रों पर आधारित मानसिक गणित की एक प्रणाली है।
  • उनकी रचना 'वेदिक मैथमेटिक्स' पुस्तक (1965 में मरणोपरांत प्रकाशित) में संकलित किया गया था।
  • भारती कृष्ण तीर्थ ने दावा किया कि उनकी विधियाँ चार वेदों में से एक, अथर्ववेद से ली गई थीं।
  • उनके अनुसार, गणितीय सिद्धांत अथर्ववेद में गुप्त संस्कृत श्लोकों में छिपे हुए थे और उन्होंने गहन ध्यान और अध्ययन के माध्यम से उन्हें पुनः खोजा'।
  • हालांकि, मौजूदा वैदिक ग्रंथों में इन सूत्रों के कोई प्रत्यक्ष संदर्भ नहीं मिले हैं, जिससे कुछ विद्वानों का मानना है कि यह प्रणाली उनका अपना सरल सूत्रीकरण था न कि प्राचीन पुनर्खोज।
• यह महत्वपूर्ण क्यों है?
  1. अंकगणित के लिए नया दृष्टिकोण
     • उनकी विधियाँ मानसिक गणित तकनीकों का उपयोग करके जटिल गणनाओं को सरल करती हैं।
     • यह प्रणाली गुणन, भाग, बीजगणित, कलन आदि पर लागू होती है।
  2. आधुनिक गणित पर प्रभाव
     • उनके काम का व्यापक रूप से प्रतियोगी परीक्षाओं (CAT, GMAT, GRE, UPSC, आदि) में उपयोग किया जाता है।
     • वेद गणित अब भारत और विदेशों में स्कूली पाठ्यक्रमों में एकीकृत है।
• निष्कर्ष:
  • भारती कृष्ण तीर्थ ने वेदिक मैथमेटिक्स के लिए अपने स्रोत के रूप में अथर्ववेद को श्रेय दिया, लेकिन आधुनिक विद्वानों का मानना है कि उन्होंने स्वयं विधियों को व्यवस्थित और तैयार किया।
  • उनकी रचना मानसिक गणित की गति और दक्षता में सुधार करने में अत्यधिक प्रभावशाली बना हुआ है।

व्याख्या:

• सूत्र: 'ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यं' (ऊर्ध्वाधर और तिर्यक)
• इस सूत्र का अर्थ है "ऊर्ध्वाधर और तिर्यक" और यह सभी प्रकार की संख्याओं के लिए प्रयुक्त एक सामान्य गुणन तकनीक है।
• यह सूत्र उपयोगी क्यों है?
  • यह एक सार्वभौमिक गुणन विधि प्रदान करता है जो सभी संख्याओं पर लागू होती है।
  • बड़ी संख्याओं के लिए अच्छी प्रकार काम करता है और मानसिक रूप से किया जा सकता है।
  • लंबे गुणन चरणों से बचने में सहायता करता है और समय जटिलता को कम करता है।
• ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यं की व्याख्या
  • उदाहरण 1: 23 × 12 का गुणा करें। 
  • हम संख्याओं को अंकों में तोड़ते हैं: 23 = (2 {दहाई} + 3 {इकाई})
  • 12 = (1 {दहाई} + 2 {इकाई})
  • चरण 1: ऊर्ध्वाधर (सबसे दाएँ अंक) गुणा करें। 
  • इकाई स्थान के अंकों का गुणा करें:
  • 3 × 2 = 6
  • 6 को उत्तर के सबसे दाएँ अंक के रूप में लिखें।
  • चरण 2: तिर्यक गुणा करें और जोड़ें। 
  • पहली संख्या के दहाई अंक को दूसरी संख्या के इकाई अंक से गुणा करें और इसके विपरीत:
  • (2 × 2) + (3 × 1) = 4 + 3 = 7
  • 7 को मध्य अंक के रूप में लिखें।
  • चरण 3: सबसे बाएँ अंकों को ऊर्ध्वाधर गुणा करें
  • दहाई स्थान के अंकों का गुणा करें:
  • 2 × 1 = 2
  • 2 को सबसे बाएँ अंक के रूप में लिखें।
  • अंतिम उत्तर:
  • 23 × 12 = 276
• ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यं महत्वपूर्ण क्यों है?
  • यह किसी भी आकार की संख्याओं (2-अंकीय, 3-अंकीय, आदि) के लिए काम करता है।
  • यह मानसिक रूप से किए जाने पर लंबे गुणन से तीव्र हैं।
  • यह संख्या बोध और गणना गति में सुधार करता है।
  • यह प्रतियोगी परीक्षाओं में त्रुटियों को कम करता है।

व्याख्या:

• सूत्र: 'निखिलम नवतश्चरमं दसत'
  • इस सूत्र का अर्थ है 'सभी को 9 से और अंतिम को 10 से' और इसका मुख्यतः आधार (जैसे 10, 100, 1000, आदि) के करीब संख्याओं के गुणन के लिए उपयोग किया जाता है।
• यह सूत्र उपयोगी क्यों है?
  • यह जटिल गुणन को सरल घटाना और जोड़ में कम करके सरल बनाता है।
  • यह विशेष रूप से तब सहायक होता है जब दोनों संख्याएँ 10 की घात के पास हों।
  • यह पारंपरिक लंबे गुणन विधि से बचता है।
  • निखिलम सूत्र का उपयोग करके गुणा करने की चरण-दर-चरण विधि
• उदाहरण:
• इस विधि का उपयोग करके 98 × 97 का गुणा करें। 
  1. आधार का चयन करें:
     • चूँकि दोनों संख्याएँ 100 के करीब हैं, इसलिए हम 100 को आधार मानते हैं।
  2. आधार से विचलन ज्ञात करें:
     • 98, 100 से 2 कम है → (-2)
     • 97, 100 से 3 कम है → (-3)
  3. उत्तर के दो भागों की गणना करें:
     • बायाँ भाग: आधार में विचलन जोड़ें:
     • 98 + (-3) = 97 + (-2) = 95
     • दायाँ भाग: विचलन को गुणा करें:
     • (-2) × (-3) = 6
  4. अंतिम उत्तर:
     • बायाँ भाग: 95
     • दायाँ भाग: 06 (चूँकि हमने 100 को आधार चुना है, इसलिए दायाँ भाग में सदैव दो अंक होने चाहिए।)
     • 98 × 97 = 9506
• यह विधि महत्वपूर्ण क्यों है?
  • पारंपरिक विधियों की तुलना में तेज़, विशेष रूप से मानसिक गणित के लिए।
  • प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए उपयोगी जहाँ गति महत्वपूर्ण है।
  • संख्या पैटर्न को सहज रूप से समझने में सहायता करता है।
  • कम्प्यूटरीकृत गणनाओं और AI-आधारित अंकगणितीय अनुकूलन का आधार बनाता है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(P(A) = P(\frac{A}{B}) = 0.25\)

और \(P(\frac{B}{A}) = 0.5\)

I. \(P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A∩ B)}{P(A)}\)

⇒ P(A∩B) = P(A) P(B|A)

⇒ P(A∩B) = 0.25 x 0.5 = 0.125

अब

⇒ \(P(B) = \frac{P(A∩ B)}{P(A|B)}\)

⇒ \(P(B) = \frac{0.125}{0.25} = 0.5\)

अब, P(A).P(B) = 0.25 x 0.5 = 0.125 = P(A∩B)

इस प्रकार A और B स्वतंत्र हैं

II. \(P(\overline A\cup \overline B ) = 1 – P(A ∩ B)\)

= 1 - 0.125 = 0.875

III. \(P(\overline A∩ \overline B ) = 1 – P(A \cup B)\)

= 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)]

= 1 - [0.25 + 0.5 - 0.125]

= = 1 - 0.625 = 0.375

इसलिए सभी कथन I, II और III सही हैं।

∴ विकल्प (d) सही है।

दिया गया है:

समीकरणों का निकाय:

4/x + 3y = 14

3/x - 4y = 23

गणना:

माना, 1/x = a है, तब समीकरण बन जाते हैं:

4a + 3y = 14

3a - 4y = 23

y को समाप्त करने के लिए पहले समीकरण को 4 से और दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर:

⇒ 16a + 12y = 56

⇒ 9a - 12y = 69

इन समीकरणों को जोड़ने पर:

⇒ 16a + 12y + 9a - 12y = 56 + 69

⇒ 25a = 125 ⇒ a = 5

इसलिए, 1/x = 5 ⇒ x = 1/5

पहले समीकरण में a = 5 रखने पर:

⇒ 4(5) + 3y = 14

⇒ 20 + 3y = 14

⇒ 3y = -6 ⇒ y = -2

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

बिंदु 1 (x₁, y₁) = (3, 4)

बिंदु 2 (x₂, y₂) = (4, 5)

प्रयुक्त सूत्र:

प्रवणता (m) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

प्रवणता का कोण (θ) = tan⁻¹(m)

गणना:

प्रवणता (m) = (5 - 4) / (4 - 3) = 1 / 1 = 1

प्रवणता का कोण (θ) = tan⁻¹(1)

⇒ θ = 45°

रेखा की प्रवणता का कोण 45° है।

दिया गया है:

सिक्कों की कुल संख्या = 50

कुल राशि = 11.25 रुपये

माना, 20 पैसे के सिक्कों की संख्या x है। 

माना, 25 पैसे के सिक्कों की संख्या y है। 

प्रयुक्त सूत्र:

x + y = 50

0.20x + 0.25y = 11.25

गणना:

पहले समीकरण से:

y = 50 - x

दूसरे समीकरण में y प्रतिस्थापित कीजिए:

0.20x + 0.25(50 - x) = 11.25

⇒ 0.20x + 12.5 - 0.25x = 11.25

⇒ -0.05x + 12.5 = 11.25

⇒ -0.05x = 11.25 - 12.5

⇒ -0.05x = -1.25

⇒ x = -1.25 / -0.05

⇒ x = 25

पहले समीकरण में x = 25 प्रतिस्थापित कीजिए:

y = 50 - 25

⇒ y = 25

उस आदमी के पास 20 पैसे के 25 सिक्के और 25 पैसे के 25 सिक्के हैं।

समस्या-समाधान विधि एक ऐसा निर्देशात्मक दृष्टिकोण है जो छात्रों को गंभीर चिंतन और पूछताछ के माध्यम से समस्याओं की पहचान, विश्लेषण और समाधान करने में शामिल करता है।

Key Points

• एक संरचित और पूछताछ-आधारित दृष्टिकोण होने के कारण, समस्या-समाधान विधि आम तौर पर समय की बचत करने वाली विधि नहीं है।
• वास्तव में, इसे पारंपरिक विधियों की तुलना में अधिक समय की आवश्यकता होती है क्योंकि छात्र कई संभावनाओं का पता लगाते हैं, जानकारी एकत्र करते हैं, समाधानों का परीक्षण करते हैं और अपने निष्कर्षों पर विचार करते हैं।
• ध्यान त्वरित सामग्री कवरेज के बजाय गहरी समझ पर है।
• जबकि यह सार्थक शिक्षा को बढ़ावा देने में अत्यधिक फायदेमंद है, इसे योजना, निष्पादन और चर्चा के लिए काफी कक्षा समय की आवश्यकता होती है।

Hint

• वैज्ञानिक दृष्टिकोण के विकास में मदद करना एक प्रमुख ताकत है, क्योंकि छात्र तार्किक रूप से सोचना, मान्यताओं पर सवाल उठाना और साक्ष्य-आधारित निष्कर्ष निकालना सीखते हैं।
• वैज्ञानिक पद्धति में प्रशिक्षण इस दृष्टिकोण में स्वाभाविक रूप से होता है क्योंकि शिक्षार्थी समस्या की पहचान, परिकल्पना निर्माण, प्रयोग और मूल्यांकन जैसे चरणों से गुजरते हैं।
• एक शिक्षार्थी-केंद्रित विधि होने के नाते, यह शिक्षण प्रक्रिया के केंद्र में छात्र को रखता है, स्वायत्तता, जिज्ञासा और सक्रिय भागीदारी को प्रोत्साहित करता है।

इसलिए, सही उत्तर समय की बचत करने वाली विधि है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(P(A) = P(\frac{A}{B}) = 0.25\)

और \(P(\frac{B}{A}) = 0.5\)

I. \(P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A∩ B)}{P(A)}\)

⇒ P(A∩B) = P(A) P(B|A)

⇒ P(A∩B) = 0.25 x 0.5 = 0.125

अब

⇒ \(P(B) = \frac{P(A∩ B)}{P(A|B)}\)

⇒ \(P(B) = \frac{0.125}{0.25} = 0.5\)

अब, P(A).P(B) = 0.25 x 0.5 = 0.125 = P(A∩B)

इस प्रकार A और B स्वतंत्र हैं

II. \(P(\overline A\cup \overline B ) = 1 – P(A ∩ B)\)

= 1 - 0.125 = 0.875

III. \(P(\overline A∩ \overline B ) = 1 – P(A \cup B)\)

= 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)]

= 1 - [0.25 + 0.5 - 0.125]

= = 1 - 0.625 = 0.375

इसलिए सभी कथन I, II और III सही हैं।

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

• वराहमिहिर (505-587 ईस्वी) उज्जैन के एक प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और ज्योतिषी थे।
• उन्होंने त्रिकोणमिति, बीजगणित और खगोल विज्ञान में महत्वपूर्ण योगदान दिया।
• उनका कार्य यूनानी, रोमन और आर्यभट्ट जैसे पूर्व भारतीय विद्वानों से प्रभावित था।
• 'पंच सिद्धांतिका' क्या है?
  • 'पंच सिद्धांतिका' (पांच खगोलीय ग्रंथ) वराहमिहिर का सबसे प्रसिद्ध कार्य है।
  • यह पांच प्राचीन खगोलीय ग्रंथों का संकलन है, जिसमें भारतीय और यूनानी प्रभाव शामिल हैं।
  • इसमें त्रिकोणमितीय अवधारणाएँ और ज्या सारणियाँ शामिल हैं, जो खगोल विज्ञान में गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण थीं।
• 'पंच सिद्धांतिका' महत्वपूर्ण क्यों है?
  1. त्रिकोणमिति का विकास
     • इसने ज्या सारणियों (अंग्रेजी में 'sine' के रूप में जाना जाता है) को प्रस्तुत किया और बेहतर बनाया।
     • इसने ग्रहों की गति और ग्रहणों के लिए त्रिकोणमितीय गणनाओं को परिष्कृत किया।
  2. बाद के गणित पर प्रभाव
     • उनकी त्रिकोणमितीय अवधारणाओं को बाद में ब्रह्मगुप्त और भास्कर द्वितीय द्वारा विस्तारित किया गया।
     • उनकी रचना ने भारतीय और हेलेनिस्टिक गणितीय परंपराओं को जोड़ा, जिससे बाद के इस्लामी और यूरोपीय खगोलविदों पर प्रभाव पड़ा।
  3. खगोलीय योगदान
     • उन्होंने भारतीय और यूनानी दोनों स्रोतों के आधार पर ग्रहों की गति के मॉडल में सुधार किया।
     • उन्होंने आर्यभट्ट की ग्रहों की गणनाओं को सही किया, जिससे उनकी सटीकता में सुधार हुआ।
• निष्कर्ष:
  • वराहमिहिर की 'पंच सिद्धांतिका' भारतीय खगोल विज्ञान और त्रिकोणमिति में एक मौलिक ग्रंथ है।
  • उनकी रचना ने ज्या फलनों की नींव रखी, जिसने बाद में आधुनिक त्रिकोणमिति को प्रभावित किया।

व्याख्या:

• भारती कृष्ण तीर्थ:
  • भारती कृष्ण तीर्थ (1884-1960) एक भारतीय गणितज्ञ और आध्यात्मिक नेता थे।
  • वे वेद गणित के पुनर्निर्माण के लिए प्रसिद्ध हैं, जो 16 सूत्रों और 15 उपसूत्रों पर आधारित मानसिक गणित की एक प्रणाली है।
  • उनकी रचना 'वेदिक मैथमेटिक्स' पुस्तक (1965 में मरणोपरांत प्रकाशित) में संकलित किया गया था।
  • भारती कृष्ण तीर्थ ने दावा किया कि उनकी विधियाँ चार वेदों में से एक, अथर्ववेद से ली गई थीं।
  • उनके अनुसार, गणितीय सिद्धांत अथर्ववेद में गुप्त संस्कृत श्लोकों में छिपे हुए थे और उन्होंने गहन ध्यान और अध्ययन के माध्यम से उन्हें पुनः खोजा'।
  • हालांकि, मौजूदा वैदिक ग्रंथों में इन सूत्रों के कोई प्रत्यक्ष संदर्भ नहीं मिले हैं, जिससे कुछ विद्वानों का मानना है कि यह प्रणाली उनका अपना सरल सूत्रीकरण था न कि प्राचीन पुनर्खोज।
• यह महत्वपूर्ण क्यों है?
  1. अंकगणित के लिए नया दृष्टिकोण
     • उनकी विधियाँ मानसिक गणित तकनीकों का उपयोग करके जटिल गणनाओं को सरल करती हैं।
     • यह प्रणाली गुणन, भाग, बीजगणित, कलन आदि पर लागू होती है।
  2. आधुनिक गणित पर प्रभाव
     • उनके काम का व्यापक रूप से प्रतियोगी परीक्षाओं (CAT, GMAT, GRE, UPSC, आदि) में उपयोग किया जाता है।
     • वेद गणित अब भारत और विदेशों में स्कूली पाठ्यक्रमों में एकीकृत है।
• निष्कर्ष:
  • भारती कृष्ण तीर्थ ने वेदिक मैथमेटिक्स के लिए अपने स्रोत के रूप में अथर्ववेद को श्रेय दिया, लेकिन आधुनिक विद्वानों का मानना है कि उन्होंने स्वयं विधियों को व्यवस्थित और तैयार किया।
  • उनकी रचना मानसिक गणित की गति और दक्षता में सुधार करने में अत्यधिक प्रभावशाली बना हुआ है।

व्याख्या:

• सूत्र: 'ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यं' (ऊर्ध्वाधर और तिर्यक)
• इस सूत्र का अर्थ है "ऊर्ध्वाधर और तिर्यक" और यह सभी प्रकार की संख्याओं के लिए प्रयुक्त एक सामान्य गुणन तकनीक है।
• यह सूत्र उपयोगी क्यों है?
  • यह एक सार्वभौमिक गुणन विधि प्रदान करता है जो सभी संख्याओं पर लागू होती है।
  • बड़ी संख्याओं के लिए अच्छी प्रकार काम करता है और मानसिक रूप से किया जा सकता है।
  • लंबे गुणन चरणों से बचने में सहायता करता है और समय जटिलता को कम करता है।
• ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यं की व्याख्या
  • उदाहरण 1: 23 × 12 का गुणा करें। 
  • हम संख्याओं को अंकों में तोड़ते हैं: 23 = (2 {दहाई} + 3 {इकाई})
  • 12 = (1 {दहाई} + 2 {इकाई})
  • चरण 1: ऊर्ध्वाधर (सबसे दाएँ अंक) गुणा करें। 
  • इकाई स्थान के अंकों का गुणा करें:
  • 3 × 2 = 6
  • 6 को उत्तर के सबसे दाएँ अंक के रूप में लिखें।
  • चरण 2: तिर्यक गुणा करें और जोड़ें। 
  • पहली संख्या के दहाई अंक को दूसरी संख्या के इकाई अंक से गुणा करें और इसके विपरीत:
  • (2 × 2) + (3 × 1) = 4 + 3 = 7
  • 7 को मध्य अंक के रूप में लिखें।
  • चरण 3: सबसे बाएँ अंकों को ऊर्ध्वाधर गुणा करें
  • दहाई स्थान के अंकों का गुणा करें:
  • 2 × 1 = 2
  • 2 को सबसे बाएँ अंक के रूप में लिखें।
  • अंतिम उत्तर:
  • 23 × 12 = 276
• ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यं महत्वपूर्ण क्यों है?
  • यह किसी भी आकार की संख्याओं (2-अंकीय, 3-अंकीय, आदि) के लिए काम करता है।
  • यह मानसिक रूप से किए जाने पर लंबे गुणन से तीव्र हैं।
  • यह संख्या बोध और गणना गति में सुधार करता है।
  • यह प्रतियोगी परीक्षाओं में त्रुटियों को कम करता है।

व्याख्या:

• सूत्र: 'निखिलम नवतश्चरमं दसत'
  • इस सूत्र का अर्थ है 'सभी को 9 से और अंतिम को 10 से' और इसका मुख्यतः आधार (जैसे 10, 100, 1000, आदि) के करीब संख्याओं के गुणन के लिए उपयोग किया जाता है।
• यह सूत्र उपयोगी क्यों है?
  • यह जटिल गुणन को सरल घटाना और जोड़ में कम करके सरल बनाता है।
  • यह विशेष रूप से तब सहायक होता है जब दोनों संख्याएँ 10 की घात के पास हों।
  • यह पारंपरिक लंबे गुणन विधि से बचता है।
  • निखिलम सूत्र का उपयोग करके गुणा करने की चरण-दर-चरण विधि
• उदाहरण:
• इस विधि का उपयोग करके 98 × 97 का गुणा करें। 
  1. आधार का चयन करें:
     • चूँकि दोनों संख्याएँ 100 के करीब हैं, इसलिए हम 100 को आधार मानते हैं।
  2. आधार से विचलन ज्ञात करें:
     • 98, 100 से 2 कम है → (-2)
     • 97, 100 से 3 कम है → (-3)
  3. उत्तर के दो भागों की गणना करें:
     • बायाँ भाग: आधार में विचलन जोड़ें:
     • 98 + (-3) = 97 + (-2) = 95
     • दायाँ भाग: विचलन को गुणा करें:
     • (-2) × (-3) = 6
  4. अंतिम उत्तर:
     • बायाँ भाग: 95
     • दायाँ भाग: 06 (चूँकि हमने 100 को आधार चुना है, इसलिए दायाँ भाग में सदैव दो अंक होने चाहिए।)
     • 98 × 97 = 9506
• यह विधि महत्वपूर्ण क्यों है?
  • पारंपरिक विधियों की तुलना में तेज़, विशेष रूप से मानसिक गणित के लिए।
  • प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए उपयोगी जहाँ गति महत्वपूर्ण है।
  • संख्या पैटर्न को सहज रूप से समझने में सहायता करता है।
  • कम्प्यूटरीकृत गणनाओं और AI-आधारित अंकगणितीय अनुकूलन का आधार बनाता है।